Necesito determinar el número de funciones polinomunes sobre$\mathbb{Z}_3 \rightarrow \mathbb{Z}_3$. No tengo ni idea de cómo intentar este problema. Sé que$\mathbb{Z}_3 =$ {0, 1, 2}. La polinomunidad se define como:$f(x) = a_kX^k + ... a_1X^1 + a_0X^0$. Ahora en$\mathbb{Z}_3$ obtenemos las siguientes polinomunciones posibles:
1.$f(x) = a_0X^0$
2.$f(x) = a_1X^1 + a_0X^0$
3.$f(x) = a_2X^2 + a_1X^1 + a_0X^0$
4.$f(x) = a_2X^2 + a_1X^1$
5.$f(x) = a_2X^2$
6.$f(x) = a_2X^2 + a_0X^0$
7.$f(x) = a_1X^1$
¿Alguien sabe cómo calcular el número de polinomunciones posibles?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Todas las funciones de $\mathbb{Z}_3$ $\mathbb{Z}_3$son funciones polinómicas.
Y hay $3^3$ funciones de$\mathbb{Z}_3$$\mathbb{Z}_3$.
Esto es porque usted tiene $3$ opciones en cuanto a lo $f(0)$ debe ser. Y para cada tal elección, hay $3$ opciones en cuanto a lo $f(1)$ debe ser. Y para cada elección de lo $f(0)$ $f(1)$ hay $3$ opciones para $f(2)$.
Observaciones: $1.$ Si $F$ es cualquier campo finito, todas las funciones de $F$ $F$son funciones polinómicas. Deje que el campo de la $n$ elementos $a_1,\dots,a_n$. Deje $P_i(x)$ ser el polinomio $$\frac{1}{x-a_i}\prod_{j=1}^n (x-a_j).$$ A continuación, para cualquier función de $f$, podemos encontrar constantes $c_i$ tal que $$f(x)=\sum_i c_iP_i(x).$$ Este es el mismo que el habitual proceso de interpolación de Lagrange.
$2.$ En su caso, cualquiera de los dos distintos polinomios de grado $\le 2$ producir distintas funciones polinómicas, y todas las funciones polinómicas surgir en este camino. Así que sus funciones polinómicas son todas las funciones $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$, donde el$a_i$$\mathbb{Z}_3$.
Polinomios de grado $\ge 3$ no producen ningún tipo de nuevas funciones. Usted puede pensar en esto como una consecuencia del hecho de que la función de $x^3$ es la misma función que la función de $x$.
Esto nos da otra forma de ver que todos los $27$ funciones son funciones polinómicas. Supongamos que $P(x)$ $Q(x)$ son polinomios de grado $\le 2$ que determinan la misma función. A continuación, $P(x)-Q(x)$ determina la forma idéntica $0$ función. Pero no un cero del polinomio no puede tener más raíces de su grado. Hay, por tanto, $27$ diferentes funciones polinómicas de que sólo el uso de polinomios de grado $\le 2$. Ya que hay sólo $27$ funciones en total, cualquier función debe ser dada por un polinomio de grado $\le 2$. La misma idea funciona es cualquier campo finito.
