Problemas de cálculo al operador de forma.

Question

Dónde he salido mal en la siguiente cálculo de la forma del operador de la superficie?

Supongamos que tenemos una superficie de $M = \{(x,y,f(x,y)) \: | \: (x,y) \in \mathbb{R}^2 \}$ agradables $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Deje $\phi: \mathbb{R}^2 \to M$ ser obvio parametrisation. El espacio de la tangente en un punto está dada por el lapso de $\phi_x = (1,0,f_x)$ $\phi_y = (0,1, f_y)$ (evaluado en el punto). La unidad vector normal es $N = \frac{\phi_x \times \phi_y}{\|\phi_x \times \phi_y \|} = \gamma (-f_x, -f_y,1)$ donde $\gamma = (1+f_x^2+f_y^2)^{-1/2}$.

Los coeficientes de la primera forma fundamental son $E = \phi_x \cdot \phi_x = 1 + f_x^2$, $F = \phi_x \cdot \phi_y = f_x f_y$, y $G = \phi_y \cdot \phi_y = 1 + f_y^2$. Tenga en cuenta que $EG - F^2 = 1 + f_x^2 + f_y^2 = \gamma^{-2}$. Los coeficientes de la segunda forma fundamental son $e = N \cdot \phi_{xx} = \gamma f_{xx}$, $f = N \cdot \phi_{xy} = \gamma f_{xy}$, y $g = N \cdot \phi_{xx} = \gamma f_{yy}$.

Por el Weingarten ecuaciones, tenemos la forma del operador dado como

$\frac{1}{EG-F^2} \begin{bmatrix} e & f \\ f & g\end{bmatrix} \begin{bmatrix} G & -F \\ -F & E\end{bmatrix} = \gamma^3 \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 + f_y^2 & -f_x f_y \\ -f_x f_y & 1 + f_x^2\end{bmatrix} $

Esta matriz se supone debe ser simétrica ([sic] VÉASE a CONTINUACIÓN). Sin embargo, incluso la elección de un simple $f$, como $f = x^2 - y^2$ produce algo que no simétrica:

$\gamma^3 \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 + 4y^2 & -4xy \\ -4xy & 1 + 4x^2\end{bmatrix} = 2\gamma^3 \begin{bmatrix} 1 + 4y^2 & -4xy \\ 4xy & -(1 + 4x^2)\end{bmatrix} $

Por favor, me puso en línea recta.

ADDENDUM: He mezclado un par de cosas y tropezar básicos de álgebra lineal. La matriz anteriormente no tiene por simétrico en general. Más bien, es auto-adjunto, y la correspondiente forma bilineal es lo que es simétrica.

Answer 1

La forma del operador en un punto de $p$ es lineal en el mapa de $S_p : T_p M \to T_p M$, por lo que a priori no tiene sentido preguntar si es simétrica. La cosa correcta de decir (como se discute en los comentarios) es que es auto-adjunto con respecto a la métrica/primera forma fundamental $g$; es decir, $$g(S_p(X),Y) = g(X,S_p(Y)).$$

Esto es equivalente a la forma bilineal asociada a $S$ por la métrica (la segunda forma fundamental) $$A(X,Y) = g(S_p(X), Y)$$ de ser simétrica, que se ha establecido es cierto.

Una vez que usted haya fijado una base, el mapa de $S_p$ puede considerarse como una matriz, en la que el punto tiene sentido preguntarse si es o no es simétrica. Si la base es ortonormales, entonces la respuesta será sí, pero en general no. Por lo tanto el origen de la confusión es el hecho de que la primera forma fundamental no es (un múltiplo de) la matriz de identidad en sus coordenadas elegido.