Tengo un problema para resolver un ejercicio. Dice:
$10$ los coches están a punto de aparcar en una plaza circular, que $3$ de ellos son coches de residentes permanentes. De cuántas maneras se pueden poner los coches para que:
a) Ninguno de los coches de los residentes permanentes está aparcado en lugares consecutivos con un coche de otro residente permanente?
b) Al menos $2$ los coches de los residentes permanentes están aparcados en lugares consecutivos?
He traducido el ejercicio del griego, así que me disculpo de antemano si no he expresado algo correctamente.
Mi pensamiento :
a) Del total de 10 coches, 3 de ellos pertenecen a residentes permanentes y los otros 7 a residentes "temporales" por lo que me referiré a ellos a partir de ahora con $P$ y $T$ respectivamente.
Es obvio que aquí tenemos un caso de arreglo circular (creo que así se llama en inglés). Necesitamos que una parte de los elementos del círculo estén siempre ordenados de una manera determinada, por lo que consideré una buena idea crear un grupo de objetos : $G = (PTPTP)$ que consiste en el $3$ $P$ coches y cualquier $2$ de la $7$ $T$ coches y con eso si mi pensamiento es correcto tenemos que calcular el número de círculos de 6 objetos $(T,T,T,T,T,G)$ y multiplicar el resultado por $3!*\frac{7!}{5!}$ que creo que son los círculos del grupo. Eso me hace $5!*3!*6*7$ que está muy lejos de la respuesta del libro que es $6!*\frac{7!}{4!}$ . Obviamente estoy haciendo algo mal.
b) No tengo ni idea de cómo resolver b) cualquier pista o ayuda sería apreciada.
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Ahora bien, creo que sé a qué te refieres cuando dices "cuadrado del círculo", pero ten en cuenta que este es un foro de matemáticas. Pensaremos en "cuadrado" como un rectángulo con lados iguales antes de pensar en "cuadrado" como una plaza.
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No se me ocurrió eso cuando estaba traduciendo, voy a editarlo y poner plaza para evitar confusiones.
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Para ser claros, en nuestra plaza circular, ¿nos importa en qué dirección está el norte? Es decir, si etiquetamos los coches $1,2,3,\dots$ y empezamos a enumerar qué coche ha aparcado en qué lugar desde la plaza más al norte, en el sentido de las agujas del reloj, es la secuencia de aparcamiento $(1,2,3,\dots,9,10)$ se considera igual o diferente a la secuencia de estacionamiento $(2,3,4,\dots,10,1)$ ?
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JMoravitz Creo que se considera lo mismo ya que estamos hablando para permutaciones de círculos y no simples
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LuxGiammi respuesta correcta para b es $9!-6!*\frac{7!}{4!}$ se olvidó de añadirlo
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Lo siento, no tuve en cuenta un detalle y mi comentario contenía una respuesta errónea.
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Suponiendo que la respuesta a mi pregunta anterior de aclaración es que se consideran iguales, una táctica común es dejar que una persona se considere "especial" a efectos del problema y orientarnos en función de su posición. Para el primer problema, supongamos que el Sr. X es uno de los residentes permanentes y supongamos WLOG que ha aparcado en la plaza más al norte. A continuación, se puede elegir el orden en el que aparecen los residentes no permanentes y hacer que los otros dos residentes permanentes se coloquen entre ellos. Esto da un total de $7!\binom{6}{2}\cdot 2$ que debe coincidir con la respuesta dada.
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En cuanto a la parte (b), observe que si no es cierto que ningún residente permanente es adyacente, entonces debe ser cierto que al menos dos residentes permanentes son adyacentes.