Completar superficies compactas con límite a superficies cerradas en $\mathbb R^3$

Question

Mi pregunta es si cualquier superficie lisa y compacta en $\mathbb R^3$ (con límite liso) puede completarse con una superficie lisa cerrada en $\mathbb R^3$ ¿sin límites? Es fácil completarlo a un liso abstracto cerrado $2$ -manifold pegando discos a los círculos de los límites. Sin embargo, parece que en algunos casos este procedimiento no se puede aplicar en $\mathbb R^3$ pero en todos los ejemplos que puedo imaginar podemos pegar dos (por ejemplo) círculos de frontera diferentes utilizando un cilindro para obtener una superficie cerrada. ¿Es un caso general o hay algún ejemplo de superficie compacta lisa con límite liso en $\mathbb R^3$ que no puede completarse con una superficie cerrada en $\mathbb R^3$ ?

Editar : Lee Mosher en su respuesta mostró que si la superficie no es orientable, entonces es fácil encontrar un contraejemplo. ¿Qué pasa con las superficies orientables?

Answer 1

La banda de Mobius no puede extenderse a una superficie cerrada.

Añadido: Para responder a la pregunta adicional, supongamos que $\Sigma \subset \mathbb{R}^3$ es la superficie orientable dada. Entonces existe una incrustación $f : \Sigma \times [0,1] \to \mathbb{R}^3$ tal que $\Sigma = f(\Sigma \times 0)$ . Así que entonces $\Sigma$ se extiende a una superficie cerrada $$f\biggl(\bigl(\Sigma \times \{0,1\}\bigr) \cup \bigl(\partial \Sigma \times [0,1]\bigr)\biggr) $$ Todavía no está liso, pero se puede alisar fácilmente.