Grupo Abeliano Finamente Generado

Question

Solo tomé mi examen final y quería ver si respondía esto correctamente:

Si$A$ es un grupo abeliano generado por$\left\{x,y,z\right\}$ y$\left\{x,y,z\right\}$ tiene las siguientes relaciones:

$7x +5y +2z=0; \;\;\;\; 3x +3y =0; \;\;\;\; 13x +11y +2z=0$

¿Sigue que$A \cong Z_{3} \times Z_{3} \times Z_{6}$?

Sé que si configuramos$x=(1,0,2)$,$y=(0,1,0)$ y$z=(2,1,5)$, entonces esto es consistente con las relaciones y con$A \cong Z_{3} \times Z_{3} \times Z_{6}$

Answer 1

Ha estudiado usted La Forma Normal de Smith (entero) matriz cuadrada? Así, si se forma la matriz de coeficientes de las relaciones que se obtiene:

$$A:=\begin{pmatrix}7&5&2\\3&3&0\\13&11&2\end{pmatrix}\Longrightarrow \det A=0$$

Por lo tanto, si $\,G:=\{x,y,z\}\,$ es el grupo abelian en $\,\{x,y,z\}\,$ $\,N\leq G\,$ el (libre de abelian, por supuesto) subgrupo generado por las mismas letras pero con sujeción a las relaciones, el cociente $\,G/N\,$ es finito iff $\,\operatorname{rank} N=3\Longleftrightarrow \det A\neq 0\,$.

De lo anterior se sigue que su grupo no puede ser lo que usted escribió.

Si no has estudiado el de arriba, a continuación, intente: es muy bonito y espectacular cosas, aunque aparentemente se debe alcanzar el resultado de otra manera.

Answer 2

Desde $7x+5y+2z=0=3x+3y$, por lo $7x+5y+2z+2(3x+3y)=13x+11y+2z=0$, por lo tanto la última relación no es importante. Tomamos nota también de que el $7x+5y+2z-2(3x+3y)=x-y+2z$

Considerar el grupo $G$={$ix+jy+kz|i,j,k\in Z$} (con la adición define como: ($i_1x+j_1y+k_1z)+(i_2x+j_2y+k_2z)=(i_1+i_2)x+(j_1+j_2)y+(k_1+k_2)z$).

Ahora vamos a $N$ ser el más pequeño subgrupo de $G$ que contiene $x-y+2z,3x+3y$. Así, $N$={$i(x-y+2z)+j(3x+3y)|i,j\in Z$}={$(3j+i)x+(3j-i)y+2iz|i,j\in Z$}.

Por lo tanto, $A=G/N$. Ahora observe que el $z$ tiene una infinidad de orden en $A$. Prueba: Supongamos $|z|=n>0$, por lo $nz=(3j+i)x+(3j-i)y+2iz$ algunos $i,j$. Esto implica que $3j+i=3j-i=0$, por lo tanto $i,j=0$. Por lo tanto, $n=0$ (contradicción). Por lo tanto $A$ no puede ser isomorfo a la suma directa en su pregunta

Answer 3

El contraejemplo trivial es que el grupo trivial es generado por$x=0, y=0, z=0$ y, por supuesto, las relaciones dadas se mantienen con$x=y=z=0$. (Tenga en cuenta que nadie dijo que el conjunto$\{x,y,z\}$ tiene cardinalidad$3$).

Si debe insistir en que$x,y,z$ sea distinto, observe que cualquier cociente de$Z_3\times Z_3\times Z_6$ mantendrá las relaciones. Por ejemplo, la proyección a los dos primeros factores$Z_3\times Z_3$ se asigna a los tres elementos distintos$(1,0), (0,1), (2,2)$.

Answer 4

Un colega mío ha escrito algunas notas que usamos en un curso aquí. Deben ayudarte a entender cómo hacer este tipo de pregunta.