Convergencias débiles de funciones medibles y de medidas.

Question

Mi pregunta es "¿cómo débiles convergencias de funciones medibles es definido?" Parece ser que hay dos definiciones diferentes que están basados en la debilidad de la convergencia de las medidas generadas por las funciones medibles, pero difieren en la forma de las funciones medibles generar sus nuevas medidas.

1. En términos de la nueva medida $\nu(A):=\int_A f \,d\mu$ generados a partir de una función medible $f$ wrt una medida $\mu$ su dominio:

   De la "Compacidad Débil" en la Sección 19 "La $L^p$ espacios" de "Probabilidad y Medida" por Billingsley:

   Supongamos que $f$ $f_n$ son elementos de $L^p(\Omega, \mathcal{F},\mu)$. Si $\int f \times g \, d\mu= \lim_{n\rightarrow \infty} \int f \times g \, d\mu$ for each $g$ in $L^q(\Omega, \mathcal{F},\mu)$ with $1/p + 1/q = 1$, then $f_n$ converge débilmente a $f$.

   Al final de la Sección 4.1 de "Un Curso en Teoría de la Probabilidad" de Kai Lai Chung, la debilidad de la convergencia de variables aleatorias en $L^1$ el espacio también se define de manera similar a Billingsley.

2. En términos de la pushforward medida de una función medible:

   En Wikipedia,

   En este caso, el término de la debilidad de la convergencia es preferible (ver débil la convergencia de las medidas), y nos dice que en una secuencia aleatoria de elementos de la $\{X_n\}$ converge débilmente a $X$ si $$ \operatorname{E}^*h(X_n) \a \operatorname{E}\,h(X) $$ for all continuous bounded functions $h(·)$. Here $E^*$ denota la exterior expectativa, que es la expectativa de una pequeña medibles la función g que domina $h(X_n)$".

   También de la Wikipedia:

   Deje $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ser un espacio de probabilidad y $\textbf{X}$ ser un espacio métrico. Si $X_n, X: Ω → \textbf{X}$ es un secuencia de variables aleatorias, a continuación, $X_n$ se dice que converge débilmente (o en la distribución o en la ley) a $X$ $n → ∞$ si la secuencia de pushforward medidas de $(X_n)_∗(P)$ converge débilmente a $X_∗(P)$ en el el sentido de la debilidad de la convergencia de las medidas en $\textbf{X}$.

Me pregunto si las dos definiciones de la debilidad de la convergencia de funciones medibles son equivalentes? ¿Por qué hay dos definiciones diferentes para el mismo concepto?

Gracias y saludos!

Answer 1

En el capítulo que usted cita, Billingsley define la debilidad de la convergencia de funciones en $L^p$., que es, por definición, la convergencia en contra de cada función en $L^q$, el doble de $L^p$. Es decir, $(f_n)$ $L^p$ converge a $f$ $L^p$ si y sólo si $\int f_ng\to\int fg$ por cada $g$ $L^q$ y esto es una debilidad de la convergencia debido a que $L^q=(L^p)^*$.

En el capítulo que usted cita, Chung define la debilidad de la convergencia de funciones en $L^1$, que es, por definición, la convergencia en contra de cada función en $L^\infty$, el doble de $L^1$. Es decir, $(f_n)$ $L^1$ converge a $f$ $L^1$ si y sólo si $\int f_ng\to\int fg$ por cada $g$ $L^\infty$ y esto es una debilidad de la convergencia debido a que $L^\infty=(L^1)^*$.

En la página que cito, Wikipedia define la debilidad de la convergencia de (probabilidad) de las medidas. Este modo de convergencia debe ser llamado débil* en lugar de débil, porque se refiere a la convergencia en contra de cualquiera limitada funciones continuas, y el espacio de $M_1$ de probabilidad de medidas se incluye en el dual del espacio de $C_b$ delimitada de funciones continuas. Es decir, $(\mu_n)$ $M_1$ converge a $\mu$ $M_1$ si y sólo si $\int f\mathrm d\mu_n\to\int f\mathrm d\mu$ por cada $f$ $C_b$ y este es un débil* la convergencia debido a que $M_1\subset(C_b)^*$.

Esto significa que la distribución de algunas variables aleatorias converge débilmente en el sentido anterior, por lo general se dice que las variables aleatorias converge en distribución.