¿Cómo probar que la función convergente implica que su derivada es igual a cero?

Question

Permita que$f\colon (0,\infty) \to\Bbb R$ sea diferenciable y que$A$ y$B$ sean números reales. Demuestre que si$f(t) \to A$ y$f′(t) \to B$ como$t \to \infty$ entonces$B = 0$.

Answer 1

Por el teorema del valor medio, para cada entero positivo$n$,$$\frac{f(n+1)-f(n)}{1}=f'(c_n),$ $ para algunos$c_n$ entre$n$ y$n+1$. Como$f(n+1)-f(n)\to 0$,$f'(c_n)$ debe tener un valor absoluto pequeño cuando$n$ es grande. Entonces, si el límite de$f'(x)$ existe, debe ser$0$.

Answer 2

Supongamos que$B>0$ (el caso$B<0$ es simétrico a esto). Luego existe$t_0$ tal que$f'(t)>\frac12 B$ para$t>t_0$. Luego, para$t>t_0$ tenemos$f(t)-f(t_0)=f'(\xi)(t-t_0)>\frac B2 (t-t_0)$ y, por lo tanto,$f(t)\to +\infty$ como$t\to +\infty$.