Derivado de la covariante en hipersuperficie en $\mathbb{R}^n$

Question

Vi en una charla que un gradiente superficial de $f:M \to \mathbb{R}$ $M$ Dónde está una hipersuperficie en $\mathbb{R}^n$ definido como % $ $$\nabla_M f = \nabla f - (\nabla f \cdot N)N$donde $N$ es el vector normal de la unidad en $M$ y $\nabla$ es el gradiente ordinario.

Sólo comenzó a aprender sobre el derivado de la conexión/covariante en un múltiple y pregunto sobre el enlace. ¿Es el gradiente superficial según lo definido anteriormente sólo una opción de una conexión particular? ¿Tiene algo que ver con la conexión de Levi-Civita?

Answer 1

Esto en realidad no tiene nada que ver con las conexiones. Nótese aquí que el $\nabla$ no se refiere a una conexión sino que denota el gradiente de una función, que es un campo vectorial, y que pueden ser definidos para un colector $M$ con métrica $g$ por $$ g(\nabla f, X) = df(X) $$ donde $X$ es un campo de vectores en $M$. Por desgracia, el símbolo de $\nabla$ también se utiliza para las conexiones y, en ese contexto, $\nabla f$ es en realidad igual a $df$ para cualquier conexión de $\nabla$ (básicamente por definición).

La métrica usual en $\mathbb R^n$ restringe a una métrica sobre la hipersuperficie $M$. A continuación, la hipersuperficie de gradiente de $f$ es sólo el gradiente de $f$ con respecto a este indicador (que sería un buen ejercicio para ejecutar a través de las definiciones y); observe que en la formación de lo que usted está tomando todo el gradiente de $f$ y, a continuación, sustrae la parte normal, conseguir algo tangente a $M$.