La traducción de Set-Generador de Notación para la lī ogica de

Question

Estoy luchando para entender cómo se convierte un conjunto de escritos utilizando el generador de notación para primaria de la lī ogica. Solo para que tengan una idea de mi experiencia, yo estudié ingeniería en la universidad, y he utilizado de "alto nivel" de las matemáticas (nivel alto en la informática sentido, es decir, sin que cavar profundamente en el significado de lo que estaba escribiendo) y me decidí a empezar a aprender acerca de ZFC para su propio bien. No tengo problemas en la comprensión y la manipulación de conjuntos por escrito el uso de la lī ogica, pero cada vez que un generador de notación de los cop, estoy perdido, porque soy incapaz de volver a la lógica pura.

Para los casos simples, tales como $S = \{x|x\in A\}$, comprendo claramente que se puede traducir a ${\forall x(x \in S \leftrightarrow x \in A)}$.

Realmente me empecé a dar cuenta de que no he entendido esta notación a la hora de resolver un ejercicio de la participación $\{dom R | R \in A\}$. El error que cometí fue que yo estaba traduciendo $x\in\{dom R | R \in A\}$ $\exists y (x,y)\in R$ lo cual es evidentemente falso, ya que $x$ debe ser un dominio y no un elemento de un dominio.

Aunque no estoy seguro de esto, yo esperaría que la solución sea algo como $x=dom R \wedge R \in A$.

Después de esta larga introducción, mi pregunta es bastante simple: ¿cómo puedo convertir CUALQUIER conjunto de escritos utilizando el generador de notación, incluso uno complicado, para un predicado de la fórmula de la lógica?

Gracias de antemano!

Answer 1

El delicado aspecto de la configuración del generador de la notación es la que se incluye implícita una cuantificación existencial para todas las variables que se producen libremente dentro de la fórmula y no están vinculados fuera de la fórmula.

Ejemplo: Considere la siguiente frase: Vamos a $R \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, vamos a $n \in \mathbb{N}$, vamos a $M = \{z^n \mid \forall w. (z,w) \in R\}$. La variable $w$ es obligado por la explícita cuantificador dentro del conjunto generador para la notación de las variables $R$, $n$, y $z$ se producen libremente dentro del conjunto generador de la notación, sino $R$ $n$ está atado fuera de la serie-el generador de notación (por la frase "Vamos a $R \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, vamos a $n \in \mathbb{N}$"). La convención habitual es que todas las variables libres dentro del conjunto generador de notación que no fuera obligado son considerados como existencialmente cuantificadas. En este ejemplo, que la $z$, por lo que tenemos $$x \in M \Leftrightarrow \exists z. (x = z^n \land \forall w. (z,w) \in R).$$

En el caso general, tenemos una fórmula $$M = \{t(y_1,\dots,y_n,z_1,\dots,z_m) \mid \varphi(y_1,\dots,y_n,z_1,\dots,z_m)\},$$ where $t(y_1,\dots,y_n,z_1,\dots,z_m)$ is a term depending on $y_1,\dots,y_n,z_1,\dots,z_m$ y $\varphi(y_1,\dots,y_n,z_1,\dots,z_m)$ es una fórmula con variables libres $y_1,\dots,y_n,z_1,\dots,z_m$ (y posiblemente más variables enlazadas dentro de $\varphi$). Si las variables $y_1,\dots,y_n$ está atado fuera de la serie-el generador de la notación, a continuación, $$x \in M \Leftrightarrow \exists z_1 \dots \exists z_m. (x = t(y_1,\dots,y_n,z_1,\dots,z_m) \land \varphi(y_1,\dots,y_n,z_1,\dots,z_m)).$$