¿Cómo puedo solucionar $y' = \sin(x - y)$?

Question

¿Cómo puedo resolver la ecuación diferencial: $$y'=\sin(x-y)$$

Podría hacer esto?

$$\frac{dy}{dx}= \sin x \cos y - \sin y \cos x$$

Pero, ¿cómo voy a continuar?

Answer 1

Si sustituye $y_1=y-x$ consigue:

$$y_1'=y'-1$$

$$\sin(x-y)=\sin(x-y_1-x)=\sin(y_1)$$

Así:

$$\sin(y_1)=y_1'+1$$

El próximo consigue $1=\dfrac{y_1'}{\sin(y_1)-1}$ y puede integrar ambos lados.

Usted obtener:

$1)$ Izquierda: $$\int_{x_0}^{x} 1 dx=x-x_0$$

$2)$Lado derecho (mediante el cambio de variables): $$\int_{x_0}^{x} \frac{y_1'(x)}{\sin(y_1(x))-1} dx=\int_{y_1(x_0)}^{y(x)} \frac{1}{\sin x-1} dx$$

Answer 2

Sólo voy a añadir la solución de la integral,

$$\int\dfrac{1}{1-\sin x}dx$$ set $\tan(x/2)=u$ entonces usted tendrá

$$\int\dfrac{1}{1-{2u\over{1+u^2}}} \dfrac{2}{u^2+1} du$$

Como resultado, usted tendrá $$\dfrac{2\sin(\dfrac x2)}{\cos(\dfrac x2)-\sin(\dfrac x2)}+c$$

Answer 3

Deje $z = x - y$. Por lo tanto, $\dfrac{dy}{dx} = 1 - \dfrac{dz}{dx}$ y $$ \dfrac{dy}{dx} = \sin(x - y) \quad \Rightarrow \quad \dfrac{dz}{dx} = 1 - \sen z \quad \Rightarrow \quad \int dx = \int \dfrac{dz}{1 -\sen z} $$ El siguiente paso es cambiar $u = \tan(z/2)$, de modo que $dz = \dfrac{2du}{1 + u^2}$. Tenga en cuenta que $$ \sen z = \dfrac{2\sin(z/2)\cos(z/2)}{\cos^2(z/2) + \sin^2(z/2)} = \dfrac{2\tan(z/2)}{1 + \tan^2(z/2)} = \dfrac{2u}{1 + u^2} $$ Por lo tanto, $$ x = \int \dfrac{\dfrac{2du}{1 + u^2}}{1 -\dfrac{2u}{1 + u^2}} =2\int \dfrac{du}{1 + u^2 - 2u} = 2\int \dfrac{du}{(1-u)^2} = -\dfrac{2}{1-u} + C \quad \Rightarrow $$ $$ x = \dfrac{2}{\tan(z/2) - 1} + C = \dfrac{2}{\tan\biggl(\dfrac{x - y}{2}\biggr) - 1} + C $$