La prueba de la infinita descenso principio

Question

Hola a todos me pregunto a mí mismo si la siguiente prueba es correcta. Agradecería cualquier sugerencia.

La proposición: no Hay una secuencia de números naturales que es infinito descenso.

Prueba: Supongamos por contradicción que existe una secuencia de números naturales que es infinito descenso. Deje $(a_n)$ ser tal secuencia, es decir, $a_n>a_{n+1}$ para todos los números naturales n.

Nos dicen que si la secuencia existe, $a_n\ge k$ todos los $k, n \in N$.

Nos introducirá en $k$. Claramente en el caso base se mantiene, ya que cada una de las $a_n$ es un número natural y, a continuación, $a_n \ge 0$ todos los $n$. Ahora inductivo suponga que la demanda tiene por $k\ge 0$, es decir, $a_n\ge k$ todos los $n \in N$; queremos demostrar que también se aplica a las $k+1$ y por lo tanto cerca de la inducción. Además, tenemos una contradicción ya que el $a_n \ge k$ todos los $k, n \in N$, implica que los números naturales son limitados.

$a_n>a_{n+1}$ desde $(a_n)$ es un infinito de descenso. Por la hipótesis inductiva sabemos que $a_{n+1}\ge k$, por lo que tenemos $a_n>k$ y, a continuación,$a_n\ge k+1$.

Para concluir tenemos que demostrar que el reclamo es válido para cada $n$. Supongamos que hay algunos $n_0$ tal que $a_{n_0}<k+1$, $\,a_{n_0}\le k$. A continuación, cualquiera de $\,a_{n_0} = k$ o $\,a_{n_0} < k$, pero en ambos casos contradice nuestra hipótesis. Por lo tanto $a_n\ge k+1$ todos los $n$, de los cuales cerca de la inducción.

Gracias :)

Answer 1

Yo diría de una manera diferente.

Por supuesto, para todos los $n$, $a_n > a_{n+1}$, o $a_n \ge a_{n+1}+1$.

Por lo tanto, desde $a_{n+1} \ge a_{n+2}+1$, $a_n \ge a_{n+2}+2$.

Por el procedimiento de la inducción, para cualquier $k$, $a_n \ge a_{n+k}+k$.

Pero, set $k = a_n$. Tenemos $a_n \ge a_{n+a_n}+a_n > a_n$.

Este es el deseado contradicción.

Esto puede ser indicado en este formulario: Sólo podemos ir hacia abajo como ahora como estamos.

Nota: Esto me recuerda de algunos de los teoremas de punto fijo en función recursiva teoría.

Answer 2

Su argumento no parece funcionar. Tenga en cuenta que el último párrafo, sin embargo, es innecesario. En el último segundo párrafo ha demostrado que $a_n \ge k + 1$ por cada $n$ ($n$ fue arbitraria aquí).

Además, su argumento parece ser unneccesarily complicado. Aquí es cómo yo diría que:

Solucionar cualquier secuencia de números naturales $\left\{a_n\right\}$. Entonces, por definición de números naturales hay sólo un número finito $m \le a_0$, por lo tanto no podemos elegir una infinidad de distintos números por debajo de $a_0$ $\left\{a_n\right\}$ no tiene infinito descenso.