¿Cuántas funciones monótonas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ hay

Question

de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ hay $2^{\aleph_0}$ como se puede definir $2^{\aleph_0}$ funciona de la siguiente manera: Para cada subconjunto de $\mathbb{N}$ mantener los números del subconjunto igual, y añadir 1 al resto.

¿Qué pasa con la cardinalidad de todas las funciones montoneras de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ ?

Es ${\mathfrak c}$ o $2^{\mathfrak c}$ , ${\aleph_1}$ o ${\aleph_2}$

Mi intuición es decir que su cardinalidad es la misma que la del conjunto de funciones reales continuas que es ${\mathfrak c}$ Como las funciones monótonas son continuas excepto, posiblemente, en un número contable de puntos, pero no he podido encontrar una prueba concreta.

Answer 1

Toda función monótona de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ es continua, excepto posiblemente en un número contable de puntos en los que tiene una discontinuidad de salto. Por lo tanto, hay $|\mathbb{R}|^{\aleph_0} =|\mathbb{R}|$ número de posibles elecciones de esos puntos discontinuos. Una vez especificadas las discontinuidades, sólo hay que rellenar el "hueco" entre ellas. Pero una función continua está determinada de forma única si su valor ya está determinado en muchos puntos densos. Esto significa que $$\text{(the number of ways to fill in the gap)} \leq |\mathbb{R}|^{|\mathbb{Q}|} = |\mathbb{R}|.$$

En resumen, hay como máximo $|\mathbb{R}|\cdot|\mathbb{R}| = |\mathbb{R}|$ número de funciones monótonas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ pero también es fácil demostrar que hay al menos $|\mathbb{R}|$ número de funciones monótonas (por ejemplo, $x+c$ es monótona para cada $c\in \mathbb{R}$ ). Por lo tanto, el número de tales funciones es $|\mathbb{R}|$ .