"General" no centrada en la distribución Chi (tener correlaciona variables aleatorias)?

Question

Deje $\mathbf{X} = [X_0, X_1]^t \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ $\boldsymbol{\mu} = [\mu_0, \mu_1]^t \in \mathbb{R}^2$ e $ \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_0^2 & \rho\sigma_0\sigma_1 \\[0.3em] \rho\sigma_0\sigma_1 & \sigma_1^2 \\[0.3em] \end{bmatrix}$. Can we derive a probability density function for the random variable $Y = \|\mathbf{X}\| = \sqrt{X_0^2+X_1^2}$, having $\rho \neq 0$ ? Yo esperaría que la solución, es decir, si es que existe - para ser válida para dimensiones superiores.

Answer 1

Sí, usted puede! Hacer conjunto de transformaciones efectivamente uncorrelate cada término y obtener una estadística con un noncentral $\chi^{2}$ distribución. Me voy a dar algo más general.Voy a llamar a su aleatorios vectoriales $\mathbf{x}$. Yo también llame a su media vector, $\boldsymbol{\mu}$ el valor esperado de $\mathbf{x}$, $E\left\{\mathbf{x} \right\}$, para subrayar el papel de cada parámetro de distribución de obras de teatro. Ahora considere la posibilidad de $s$ $=$ $\mathbf{x}^{\text{T}} \mathbf{A} \mathbf{x}$, donde $A$ rango $r$.

\begin{equation} \begin{split} \mathbf{y} &\triangleq \mathbf{\Sigma}^{- \frac{1}{2} } \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{z} &\triangleq \mathbf{y} - \mathbf{\Sigma}^{- \frac{1}{2} } \cdot E\left\{ \mathbf{x}\right\} \\ \mathbf{\Sigma}^{\frac{1}{2} } \, \mathbf{P}_{\mathbf{1}}^{\perp} \, \mathbf{\Sigma}^{ \frac{1}{2} } &\triangleq \mathbf{U}^{\text{T}} \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{U} \quad \text{(Spectral Theorem)} \\ \mathbf{w} &\triangleq \mathbf{U}^{\text{T}} \mathbf{z} \\ \mathbf{b} &\triangleq \mathbf{U}^{\text{T}} \mathbf{\Sigma}^{- \frac{1}{2} } \cdot E\left\{ \mathbf{x} \right\} \end{split} \end{equation}

Usando estas definiciones, escribe:

\begin{equation} s \triangleq \mathbf{x}^{\text{T}} \mathbf{A} \mathbf{x} = \left( \mathbf{w} + \mathbf{b} \right)^{\text{T}} \boldsymbol{\Lambda} \left( \mathbf{w} + \mathbf{b} \right) \end{equation}

Porque $\text{cov}(\mathbf{w})$ $=$ $\mathbf{I}$ y $\mathbf{b}$ es un determinista vector, $s$ es ahora un $\chi_{r}^{2}$ distribución con noncentrality parámetro $\vert \vert \, \mathbf{b}\, \vert \vert^{2}$.

Su objetivo era encontrar la $\chi$-distribución. En ese caso, hacer una simple transformación:

\begin{equation} t = \sqrt{s} \implies \quad p_{T}(t) = 2 \,\vert s\vert \,p_{S}\left( t^{2} \right) \end{equation}

Cuando se establece $\mathbf{A}$ $=$ $\mathbf{I}$, está terminado.