La predicción de la Rotación vs Deslizamiento hacia delante cuando se Empuja un Objeto

Question

Supongamos que hay un cuboide de objetos sobre una mesa, y una fuerza se aplica a ella. Esta figura muestra la vista arriba-abajo:

Tengo curiosidad por entender cómo el objeto se moverá debido a esta fuerza, por ejemplo si va a girar o deslizar hacia delante. Me gustaría saber cómo se diferencian cuando la única variable parámetro es el coeficiente de fricción entre el objeto y la tabla.

Después de empujar varios objetos alrededor de mi escritorio, me he dado cuenta tres comportamientos diferentes para diferentes objetos:

Rotación alrededor del centro:

Rotación sobre el final:

Deslizando hacia adelante:

Mi entendimiento es que el objeto se moverá de acuerdo a cualquier movimiento requiere el mínimo de fuerza, es decir, lo que el movimiento iba a suceder "primer" si la fuerza que se inicia desde cero, y comenzó a aumentar (por ejemplo, a partir de aquí). Teniendo en cuenta esto, me parece que para un valor fijo coeficiente de fricción, el movimiento que requiere menos fuerza sería aquella en la que el objeto gira sobre el final. Mi razonamiento es que este movimiento requiere el mínimo movimiento físico de un objeto a partir de su posición original, es decir, el más pequeño de la integral de (fuerza X distancia) a través del objeto, y por lo tanto el mínimo de energía necesaria para vencer la fricción durante el deslizamiento.

Sin embargo, este no parece ser el caso en la práctica. Observo a los tres mociones para diferentes tipos de objetos, y no entiendo por qué. Puede alguien explicarme por qué mi intuición es correcta y cuál es la correcta relación entre el coeficiente de fricción, y el movimiento de los objetos?

Answer 1

Respuesta Corta:

Para el escenario ideal, la ruta del paralelepípedo que toma es independiente de la fricción. La forma principal de su escritorio experimentos difieren desde el escenario ideal es su suposición de que la fuerza aplicada es constante (es decir, en la dirección).

Respuesta Larga:

Vamos a exponer algunos de los supuestos para el escenario ideal:

1. El paralelepípedo es uniforme en la masa.
2. El paralelepípedo tiene un coeficiente uniforme de fricción (no 'pegajoso' spots).
3. La fuerza aplicada para el paralelepípedo es realmente constante.

No es una suposición común acerca de las fuerzas de fricción así:

4. Las fuerzas de fricción son siempre en dirección opuesta al movimiento (es decir, $ \hat f_k = - \hat v $ )

Reivindicación 1:

Bajo los supuestos 1 y 3 anteriores, el cuboides ruta será una combinación de la rotación sobre el centro y la traducción de el centro.

Con una sola fuerza, $\vec F$ aplicado a la cuboides, Newton 2º de la ley no-cero, la aceleración del centro de masa y la no-cero aceleración de rotación sobre el centro de masa (siempre $\vec F$ es la desviación de la CM).

$$ \begin{array}{|l|cc|} \hline & \text{Translation} & \text{Rotation} \\ \hline \text{No Friction} & \vec F = m \vec a & \vec R \times \vec F = I \vec \alpha \\ \hline \end{array} $$

Reivindicación 2:

Bajo la hipótesis 2 y 4 anteriores, la ruta del paralelepípedo que toma es independiente de la fricción.

$$ \begin{array}{|l|cc|} \hline & \text{Translation} & \text{Rotation} \\ \hline \text{Friction} & \vec F + \vec f_k = m \vec a & \vec R \times \vec F + \vec \tau_k= I \vec \alpha \\ \hline \end{array} $$

Esto se puede entender de forma intuitiva a partir de hipótesis 4: si la fricción es siempre una fuerza de arrastre (es decir, dirigida detrás de usted) nunca tiene un componente a la izquierda o a la derecha. En consecuencia, sólo se te acelera o retrasa; no cambiar la ruta de acceso que usted toma. Una prueba matemática es la siguiente.
Si la fricción no se puede cambiar la ruta de acceso el cuboides, sigue la misma cantidad de rotación y traslación, independientemente de que el coeficiente de fricción.

Problemas con ejemplos del mundo real

Hipótesis 3 es la suposición más débil cuando se aplica a los experimentos. Tomemos, por ejemplo, empujando un libro de esquina con un dedo. En ese caso, el libro es probable que sólo las experiencias de un contacto (un.k.Normal) de la fuerza perpendicular a la cara:

Para aplicar verdaderamente una constante de la fuerza, se necesita algún tipo de vinculación. Por ejemplo, una barra de empuje que se conecta a un pin en el cuboides. De lo contrario, usted está perdiendo parte de la fuerza aplicada en paralelo a la cara.
Sin que la instalación de vinculación, la fuerza va a comenzar a realizar la traducción de el cuboides, pero luego predominantemente girar como usted consigue más en el camino.

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Prueba las fuerzas de fricción no cambiar la ruta de acceso a un objeto de toma:

Comienzan con la ley de Newton, sino que se rompen las fuerzas en componentes paralelas a la velocidad y la perpendicular a la velocidad: $$ \Sigma \vec F_{||v} + \Sigma \vec F_{\perp v} = m \frac{d \vec v}{dt} $$ Deje que la velocidad de estar escrito como $\vec v = v \hat v$ (es decir, la magnitud y dirección). Entonces: $$ \frac{d \vec v}{dt} = \frac{dv}{dt} \hat v + v \frac{d\hat v}{dt}$$ La aplicación de la expansión de la $\frac{d\vec v}{dt}$ y tomando el producto escalar con $\hat v$: $$\Sigma \vec F_{||v} \cdot \hat v = m \frac{dv}{dt}\hat v \cdot \hat v + mv\frac{d \hat v}{dt} \cdot \hat v$$ El producto escalar de a$\vec F_{\perp v} \cdot \hat v = 0$ , por definición, mientras que $\frac{d \hat v}{dt} \cdot \hat v = 0$ es cierto porque las $\hat v \cdot \hat v = 1$ , por definición. Por lo tanto: $$\Sigma F_{||v} = m \frac{dv}{dt}$$ Muestra que las Fuerzas paralelo a v sólo puede cambiar la magnitud de la velocidad, no es la dirección.