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¿Por qué necesitamos un retroceso para la definición o clasificación de los subobjetos?

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Con respecto a la subobjeto clasificador de la construcción, ¿por qué necesitamos la retirada?

Monos de $U$ $X$son llamados subobjetos, pero veo que hay inyecciones que sólo tienen los elementos de la X (visto como un conjunto, como en la teoría de conjuntos) permutados. Este es, por tanto, algo débil.

Sin embargo, hasta donde puedo ver, $\text{Hom}(X,\Omega)$ son las funciones características (teoría de la terminología) y estos son, en bijective correspondencia con lo que entendemos como subconjuntos. Entonces, ¿por qué necesitamos $U$, $j$, etc. para hacer que la teoría de conjuntos? El único propósito por el $U\rightarrow 1\rightarrow\Omega$ ruta que se me ocurre es definir $\chi_j$ en términos de función de la composición y, por tanto, asociando $\chi_j$'s con los objetos, como la $U$. Es llo que el subobjeto clasificador nos permite clasificar ciertos únicas $U$'s y luego podemos asociar objetos (como $U$) como subobjetos de objetos (X)? Pero, ¿por qué tendría que ser necesario? ¿Por qué no considerar la posibilidad de $\text{Hom}(X,\Omega)$ subobjetos (vs, en plural) de $X$? Y en caso de que simplemente no nos quieren como morfismos: he visto hom-establece llevado a una nueva categoría a través de un functor, ¿por qué no es esto suficiente?

En segundo lugar, siempre se declaró explícitamente que necesitamos un terminal objeto de hacer todo lo anterior. Pero no necesitamos también "verdadero" y "!" así, este debe ser siempre también de forma explícita, o estamos seguros de que algunos de ellos son lo que implica por no ser un terminal de objeto?

Por último, se dice que el topos de la teoría de la aviods el apilamiento de elemento de inclusión, es decir, $\in$ reemplazados por los axiomas de la función de la composición. Pero si el Conjunto contiene cualquier universo que desearía hablar, entonces seguramente estos conjuntos anidados se puede encontrar allí también, y esto sólo significa que hay super largo chaings que implican subobjeto classifiert. Esto realmente reducir la anotación de lastre, en comparación con cualquier teoría de conjuntos con múltiples tipos?

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Michal R. Przybylek Puntos 1157

No necesitamos pullbacks a definir subobjeto clasificador. Todo lo que necesitamos es la noción de una lógica más de una categoría, o de igual manera, la noción de subobjetos. Esto puede ser de manera abstracta la caracteriza como una lógica fibration más de la categoría. El subobjeto clasificador es entonces un objeto universal que nos permite recuperar todos los subobjetos a través de sustituciones.

Pullbacks son necesarios para definir la lógica de subobjetos. Con cada categoría $\mathbb{C}$ con pullbacks uno puede asociar canónica de la lógica fibration --- $\mathit{sub} \colon \mathit{Sub} \rightarrow \mathbb{C}$. Es showable que si $\mathit{sub}$ tiene el objeto universal $X \rightarrow \Omega$ en el anterior sentido, de $X$ es necesario un terminal de objeto en $\mathbb{C}$.

Uno puede considerar otras lógicas más de $\mathbb{C}$, y llegar a otras nociones de subobjetos. Por ejemplo, el papel crucial en el quasitopos es jugado por un subobjeto clasificador --- esto es sólo el objeto universal inducida por la lógica de regular subobjetos.

Uno puede incluso considerar la no-lógica fibrations $\mathbb{C}$, y ver cómo tales universal de los clasificadores de aspecto. Por ejemplo, el interventor de la familia fibration $\mathit{fam}(\mathbb{C}) \colon \mathit{fam}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbf{Set}$ tiene un universal clasificador precisamente al $\mathbb{C}$ es pequeño; es dada por $\mathbb{C}_0$ --- el conjunto de todos los objetos de $\mathbb{C}$.

Usted también ha dicho:


Monos de la U de X se llaman subobjetos, pero veo que hay inyecciones que sólo tienen los elementos de la X (visto como un conjunto, como en la teoría de conjuntos) permutados.


Es por eso que nosotros no definimos subobjetos como monos, pero como abstracción de clases de equivalente en monos.

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