La Teoría de los números Pregunta - probar ninguna entero soluciones

Question

Demostrar que la ecuación de $$x^2+xy-y^2=3$$ no tiene entero de soluciones.

He resuelto la ecuación de $x$:

$x=\displaystyle \frac{-y\pm\sqrt{y^2+4(y^2+3)}}{2}$ $\displaystyle =\frac{-y\pm\sqrt{5y^2+12}}{2}$

Luego estaba tratando de mostrar que $\sqrt{5y^2+12}$ no puede ser un entero usando $r^2\equiv 12 \pmod{5y^2}$. Me quedé atrapado aquí.

Answer 1

Sólo tenga en cuenta que $5y^2$ es un múltiplo de a $5$ y por lo tanto termina en $0$ o $5$. Por lo tanto, $5y^2+12$ termina en $2$ o $7$, pero no hay ninguna perfecta plazas que tienen este terminaciones.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$x^2+xy-y^2=(x-2y)^2+5(xy-y^2)=(x-2y)^2\qquad({\rm mod}\>5)\ .$$ Pero $$0^2=0,\quad(\pm1)^2=1,\quad(\pm2)^2=-1\qquad({\rm mod}\>5)\ ,$$ lo que implica que $3$ no es un residuo cuadrático módulo $5$.

Answer 3

Por lo general, Si $f(x) \equiv 0 \pmod{mn}$ tiene una solución, entonces eso quiere decir $mn \mid f(x)$ algunos $x$. Pero desde $m \mid mn$ $n \mid mn$ puede ver $m,n \mid f(x)$, es decir,$f(x) \equiv 0 \pmod{m}$$f(x) \equiv 0 \pmod{n}$. Así que en su caso se podría concluir $r^2 \equiv 12 \pmod{5}$ y deshacerse de $y^2$ que es desconocido. El resto es obvio ya que otros dijeron.