Hay infinitamente muchos pares de $r, s \in \mathbb{Q}$ tal que $r + s \neq 0$ $\frac{1}{r} + \frac{1}{s}$ son ambos enteros?

Question

Si nos restringimos $r, s$ sólo $\mathbb{Z}$, es fácil demostrar que las únicas posibilidades son $r = s \in \{1,2 \}$, pero no he sido capaz de demostrar este caso más general.

También, es significativamente más difícil responder a esta pregunta si, por ejemplo, $r, s \in \mathbb{R}$?

(como se señaló en los comentarios, hay un trivial solución al problema... la cuestión se vuelve mucho más interesante, sin que, por lo que he editado la pregunta)

Answer 1

$$ (r+s) \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{s} \right) = 2 + \frac{r}{s} + \frac{s}{r} \in \mathbb Z $$ Deje $$ x = \frac{r}{s} \in \mathbb Q $$ $$ x + \frac{1}{x} = n \in \mathbb Z $$ $$ x^2 - n x + 1 = 0 $$ $$ x = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2} \in \mathbb Q $$ $$ n = \pm 2 $$

Answer 2

He aquí un completo elemental de la solución (sin usar la fórmula cuadrática raíces).

Si $r+s$ e $\frac 1 r+\frac 1 s$ son ambos enteros, a continuación, $\frac r s+\frac sr+2=(r+s)(\frac 1 r+\frac 1 s)$ también es un entero, y, por tanto, $\frac r s+\frac s r$ es un número entero.

Escribir $\frac{r}{s}$ como $\frac{p}{q}$, donde $p,q$ son coprime enteros, lo que $\frac r s+\frac s r=\frac pq+\frac qp=\frac{p^2+q^2}{pq}$. Si este es un número entero, significa que $p$ tiene que dividir $q^2$ e $q$ tiene que dividir $p^2$. Pero desde $p$ e $q$ son coprime, se deduce que no tienen factores primos, y así que cada uno es igual a $\pm 1$, y por lo $\frac{r}{s}=\frac{p}{q}=\pm 1$, y, por tanto, $r=s$ o $r=-s$.

Se excluyen específicamente $r=-s$, por lo que el único resto de las soluciones de $r=s$, es decir, $r+s=2r$ es un número entero y $\frac 1r+\frac 1s=\frac 2r$ es un número entero. La única $r$ satisfacer este se $-2,-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,2$.

(Esta solución no funciona en absoluto si usted permitir real $r,s$, como en ese caso, hay una infinidad de $x$ tal que $x+x^{-1}$ es un número entero. Pero como se ha mencionado en los comentarios, en ese caso, podemos definir explícitamente una infinidad de soluciones.)

Answer 3

Deje $r+s=m$, $\frac1r+\frac1s=n$. Así que queremos $$ nr^2-mnr+m=0 $$ Así que queremos que $\Delta=(mn)^2-4mn=(mn-2)^2-4$ a ser un cuadrado perfecto (en $\mathbb{Q}$ o en $\mathbb{R}$). Para $\mathbb{Q}$, entero cuadrados perfectos son, por supuesto, la plaza de los números enteros, por lo que debemos tener $mn-2=\pm 2$ que los rendimientos de las soluciones triviales $mn=0$o $mn=4$, que se $r=s\in\{\pm 1,\pm 2\}$.

Para $\mathbb{R}$, tenemos mucha más libertad. Cualquier $mn\neq 1,2,3$ (e $mn\neq 0$ a descartar soluciones triviales), como $\Delta\geq 0$, podemos tomar su raíz cuadrada $\sqrt{\Delta}\in\mathbb{R}$ y obtener: $$ r=\frac{mn\pm\sqrt{\Delta}}{2n},s=\frac{mn\mp\sqrt{\Delta}}{2n} $$

Answer 4

Deje $r+s = m;m\in \mathbb Z$ e $\frac 1r + \frac 1s = \frac 1r + \frac 1{m-r} = \frac {(m-r) + r}{r( m-r)} = \frac m{r(m-r)} = k; k \in \mathbb Z$.

$m = kr(m-r)$ e $kr^2 - kmr - m = 0$ lo $r = \frac {km \pm \sqrt{k^2m^2 +4mk}}{2k} \in \mathbb Q$

Así que para cualesquiera dos enteros se $k^2m^2+ 4mk$ es un cuadrado perfecto con una solución. Por lo $mk(mk + 4)= w^2$. Ahora la $\gcd(mk, mk+4) = \gcd(4, mk)$

Caso 1: $\gcd(mk,mk+4) = 1$ entonces $mk$ e $mk+4$ son cuadrados perfectos y la única manera que puede ser es que si $mk = 0$ e $mk + 4 = 4$. Por lo que cualquier $mk = 0$ lo $r=-s$ es posible.

Caso 2: $\gcd(mk,mk+4) =2$ e $\frac {mk}2(\frac {mk}2 + 2) = (\frac w2)^2$ e $\frac {mk}2 $ e $\frac {mk}2 + 2$ son cuadrados perfectos. La única manera que es posible es si $\frac {mk}2 = -1$ e $\frac {mk}2 = 1$. Eso sólo puede suceder si $\{m,k\} = \pm 1, \mp 2$

Pero eso es imposible como $r =\frac {km \pm \sqrt {k^2m^2 + 4km}}{2k} = \frac {-2 \pm \sqrt{4-8}}{2}$.

Caso 3: $\gcd(mk,mk+4) =4$ e $\frac {mk}4(\frac {mk}4 + 1) = (\frac w4)^2$. donde $\frac {mk}4$ e $\frac {mk}4 + 1$ son cuadrados perfectos. Eso sólo es posible de $mk = 0$ e $\frac {mk}4 + 1 =1$.

Y eso significaría $r = -s$.

Por lo $r = -s$ son sólo soluciones.

Al menos si no estoy completamente el tornillo de seguridad.... Que yo podría tener.