En física, he oído hablar de la longitud más pequeña del espacio como la "longitud de Planck" y de la unidad más pequeña del tiempo como el "tiempo de Planck". Sin embargo, esto no es realmente una pregunta de física, sino de matemáticas.
Si tenemos una unidad mínima de espacio y de tiempo, ¿por qué nuestros modelos matemáticos de los sistemas de la vida real no tratan con espacio y tiempo discretos? ¿Cuál es la ventaja de modelar el comportamiento de un sistema con espacio y tiempo continuos?
(Hay muchos ejemplos, por ejemplo, en la teoría de las EDP, o en las finanzas matemáticas, de sistemas que modelamos utilizando el tiempo continuo, por ejemplo, la difusión del calor a través de un material, o el precio de una acción).
Una característica extraña del tiempo continuo, por ejemplo, es que no hay dos puntos temporales consecutivos, mientras que eso no es cierto en el tiempo discreto. ¿Por qué querríamos modelar un sistema utilizando el tiempo en el que no hay dos puntos temporales consecutivos? ¿Qué ventaja nos daría esta característica del tiempo (o del espacio) en nuestro modelo?
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Quizá sepas que la aritmética de precisión limitada de los números de punto flotante de los ordenadores es una bonita aproximación al continuo de los números reales. - Adivina qué, con el mismo argumento, los reales continuos (matemáticamente agradables) son una buena aproximación a los sistemas discretos.
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El tiempo continuo permite desarrollar muchas herramientas avanzadas. Por ejemplo, no existe una contrapartida en tiempo discreto del teorema de Girsanov. No es injusto decir que toda la modelización de los mercados financieros en tiempo continuo existe gracias a este teorema.
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Al contrario de lo que usted piensa, esto parece ser una cuestión de física. Los modelos teóricos de la física se basan en la experimentación. Experimentalmente, no podemos refutar que el espaciotiempo es continuo con la tecnología actual. No podemos demostrar que el espaciotiempo es continuo con ninguna tecnología. Pero eso no es importante.
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Tomemos algo sencillo: la velocidad. Es la derivada con respecto a la posición. Sin embargo, si el espacio no es continuo, la derivada no está bien definida. ¿Significa esto que la noción de velocidad en física no tiene sentido? Por supuesto que no. Tiene un significado científico sustancial en el sentido de que juega un papel en la descripción del mundo físico, obviamente, y este significado es independiente de si el espaciotiempo es continuo o discreto.