Gradiente de identidad que implica la del producto

Question

He encontrado esta identidad particular en un extracto de mi curso de física : $$\nabla \times\nabla \times\vec{F}=-\nabla^2\vec{F}+\nabla(\nabla \vec{F}) $$

Sin embargo, nada se dice acerca de la $\vec{F}$, ni ninguna interpretación física está asociada con esta ecuación.

¿Cómo se puede demostrar esto ? ¿Y esto que identidad significa realmente ?

Answer 1

Es bastante sencillo si se utiliza el índice de notación.

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Una Breve Explicación de la Notación Índice

Las reglas para el índice de notación son:

1. suma es siempre implícita, cuando el mismo índice se produce exactamente dos veces en un solo término. Tales índices se llama suma de los índices o ficticia de los índices. Ejemplo: $\vec v \cdot \vec w=\sum_{i=1}^3v_i w_i = v_iw_i$. Aquí $i$ es la única suma de índice.
2. si hay un índice que es impar, entonces es que no se suman a lo largo y debe aparecer en cada término en AMBOS lados de la ecuación. Tales índices se llama libre de índices. Ejemplo: $x_a = R_{ab} v_b = \sum_{b=1}^3 R_{ab} v_b$. Aquí $a$ es el índice de e $b$ es la suma del índice. Notar aquí que el $x_a$ $a$ésima componente del vector $\vec x$ $R_{ab}$ es un escalar indexados por $2$ índices-en donde, en general, $R_{1,2} \ne R_{2,1}$ (esta es la forma de denotar las entradas de una matriz en el índice de notación).
3. si su suma incluye más de $2$ del mismo índice, a continuación, usted NO puede utilizar esta implícita en el convenio de sumación. Ejemplo: $A_{ab}B_{cb}x_bv_c$ no es una expresión válida mediante el implícita el convenio de sumación porque hay $3$ $b$ los índices en este único término y por lo tanto la suma es ambigua. Si esta sumando ocurre, usted tendría que utilizar explícitamente la $\sum$ símbolo.

Un par de símbolos también deben ser explicados:

1. El símbolo de permutación: $\epsilon_{pqr} = \begin{cases} 1, & pqr \in \{123, 231, 312\} \\ -1, & pqr \in \{321, 213, 132\} \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$
2. La delta de Kronecker: $\delta_{pq} = \begin{cases} 1, & p=q \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$
3. La derivada parcial respecto de la $p$th argumento de la función $f(x_1, x_2, \dots)$ será denotado $\partial_p f$. Por ejemplo, vamos a denotar $\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}$$\partial_2 f$.

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Así que ahora, vamos a empezar:

$$\begin{array}\ [\nabla \times (\nabla \times \vec F)]_p & \text{Just consider the $p$ésima componente} \\ = \epsilon_{pqr}\partial_q(\nabla \times \vec F)_r & \text {$[a\times b]_p := \epsilon_{pqr}a_qb_r$- este puede ser usado como} \\ & \text{la definición de la cruz del producto} \\ = \epsilon_{pqr}\partial_q\epsilon_{primero}\partial_sF_t & \text{Aplicar la misma definición} \\ = \epsilon_{pqr}\epsilon_{primero}\partial_q\partial_sF_t & \text{$\epsilon_{rst}$ es sólo un escalar y así desplazamientos} \\ & \text{con el operador de la derivada} \\ = \epsilon_{rpq}\epsilon_{primero}\partial_q\partial_sF_t & \text{$\epsilon_{pqr}=\epsilon_{qrp}=\epsilon_{rpq}$} \\ = (\delta_{ps}\delta_{qt} - \delta_{pt}\delta_{q})(\partial_q\partial_sF_t) & \text{Aplicar la identidad (la cual se puede demostrar} \\ & \text{si quieres) $\epsilon_{rpq}\epsilon_{rst} = \delta_{ps}\delta_{qt} - \delta_{pt}\delta_{qs}$} \\ = \partial_t\partial_pF_t -\partial_s\partial_sF_p & \text{Aplicar la identidad de $\delta_{qp}a_p = \delta_{pq}a_p=a_q$} \\ = \partial_p\partial_tF_t - \partial_s\partial_sF_p & \text{Clairaut del teorema} \\ = [\nabla (\nabla \cdot \vec F)]_p -[(\nabla \cdot \nabla)\vec F]_p & \text{ya casi Hemos terminado, ahora} \\ = [\nabla(\nabla\cdot \vec F)-\nabla^2\vec F]_p\ \ \ \ \ \ \plaza de\end{array}$$

Una vez que te acostumbras índice de notación, verás que no hay realmente ningún pensamiento requeridos para este ... fue todo muy mecánico.

Por CIERTO, este proceso también se muestra que el $\vec F$ deben tener continuo segunda parciales o de lo contrario esta identidad no tienen (porque hemos tenido que hacer uso de Clairaut del teorema).

Answer 2

Primero que todo me pareciera señalar dos errata: la fórmula correcta es \begin{equation} \nabla \times\nabla \times\vec{F}=-\nabla^2\vec{F}+\nabla(\nabla \cdot \vec{F}) \end{equation} Ahora, la curvatura de $F=(F_1,F_2,F_3)$ puede ser calculada mediante la definición estándar, es decir, \begin{equation} \triangledown \times F = \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right) \times \left(F_1,F_2,F_3 \right) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} \end{equation} mientras \begin{equation} \triangledown \cdot F = \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot \left(F_1,F_2,F_3 \right) = \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z} \end{equation} Cuando se aplica la curvatura de F, se obtiene un nuevo vector. A continuación, aplicar una vez más la definición de curl para calcular $\triangledown \times \triangledown \times F$ y el uso de la expresión de la divergencia de F para simplificar el cálculo.

Answer 3

Quiero dar una sugerencia:

Uno puede fácil la prueba:

$$a \times (b \times c) = \left( {a \cdot c} \right){\rm{b}} - \left( {a \cdot b} \right)c$$

para cualquier $a,b,c \in {R^3}$, y lo hace depent en este fin de obtener una combinación lineal.

En el sentido de que el uso de los operadores diferenciales, uno necesita este orden: $$\begin{array}{c} a \times (b \times c) = {\rm{b}}\left( {a \cdot c} \right) - \left( {a \cdot b} \right)c\\ \nabla \times (\nabla \times \overrightarrow F ) = \nabla \left( {\nabla \cdot \overrightarrow F } \right) - \left( {\nabla \cdot \nabla } \right)\overrightarrow F \\ = \nabla \left( {\nabla \cdot \overrightarrow F } \right) - {\nabla ^2}\overrightarrow F \end{array}$$