Cómo podemos aplicar el método de separación de variables?

Question

Quiero comprobar si el método de separación de variables puede ser utilizado para el reemplazo de la siguiente dado ecuación diferencial parcial de un par de ecuaciones diferenciales ordinarias. Si es así, quiero encontrar las ecuaciones.

• $u_{xx}+(x+y) u_{yy}=0$

Supongamos que $u$ es de la forma $u(x,y)=X(x) Y(y)$.

A continuación,$u_{xx}+(x+y) u_{yy}=0 \Rightarrow X''(x) Y(y)+(x+y) X(x) Y''(y)=0 $.

Así pues, vemos que no podemos utilizar el método.

Pero con el fin de aplicar el método, se podría establecer $z=x+y$.

Pero entonces, ¿cómo debemos proceder? Hallamos la derivada de z o x?

EDIT:Vamos a $z=x+y$.

Tenemos que $$\frac{dX}{dx}=\frac{dX}{dz}\cdot \frac{dz}{dx}=\frac{dX}{dz}$$ and $$\frac{d^2X}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left (\frac{dX}{dz}\right )=\frac{d}{dz}\frac{dX}{dz}\cdot \frac{dz}{dx}=\frac{d^2X}{dz^2}$$

Luego tenemos a $$\frac{d^2X}{dx^2}\cdot Y+(x+y)\cdot X\cdot \frac{d^2Y}{dy^2}=0 \\ \Rightarrow \frac{d^2X}{dz^2}\cdot Y+z\cdot X\cdot \frac{d^2Y}{dy^2}=0 \\ \Rightarrow \frac{d^2X}{dz^2}\cdot Y=-z\cdot X\cdot \frac{d^2Y}{dy^2} \\ \Rightarrow \frac{1}{z\cdot X}\cdot \frac{d^2X}{dz^2}=- \frac{1}{Y}\cdot \frac{d^2Y}{dy^2}$$

Pero no $X$ ser una variable de ambos $y$ $z$ desde $x=z-y$?

O hemos de conseguir de alguna manera que $X$ sólo dependerá $z$?

Answer 1

$$u_{xx}+(x+y)u_{yy}=0$$ Si desea cambiar de variable como $z=x+y$ sin saber el método más avanzado, puedes hacerlo con esta muy elemental proceso :

$$\text{Let}\quad\begin{cases}u(x,y)=U(x,z)\\z=x+y\quad\to\quad dz=dx+dy\end{cases}$$

$$du=u_x dx+u_y dy=U_x dx+U_z (dx+dy)=(U_x+U_z)dx+U_zdy\quad\to\quad\begin{cases}u_x=U_x+U_z\\u_y=U_z\end{cases}$$

$$du_x=u_{xx}dx+u_{xy}dy=dU_x+dU_z \quad \text{with}\quad \begin{cases} dU_x=U_{xx}dx+U_{xz}(dx+dy) \\ dU_z=U_{xz}dx+U_{zz}(dx+dy)\end{cases}$$

$$u_{xx} dx+u_{xy} dy=(U_{xx}+2U_{xz}+U_{zz})dx+(U_{xz}+U_{zz})dy\quad\to\quad$$ $$ u_{xx}=U_{xx}+2U_{xz}+U_{zz}$$ $$du_y=u_{xy}dx+u_{yy}dy=dU_z=U_{xz}dx+U_{zz}(dx+dy)=(U_{xz}+U_{zz})dx+U_{zz}dy \quad\to\quad u_{yy}=U_{zz}$$ $$u_{xx}+(x+y)u_{yy}=0\quad\to\quad U_{xx}+2U_{xz}+U_{zz}+z U_{zz}=0 $$ $$U_{xx}+2U_{xz}+(z+1)U_{zz}=0$$

Entonces, la transformada de la PDE pueden ser separadas con $\quad U(x,z)=X(x)Z(z)$ $$\frac{X''}{X}+2\frac{X'}{X}\frac{Z'}{Z}+(z+1)\frac{Z''}{Z}=0$$ Con $\quad \frac{X'}{X}=\lambda=\text{constant}\quad\to\quad X=e^{\lambda x}\quad\to\quad \lambda^2+2\lambda \frac{Z'}{Z}+(z+1)\frac{Z''}{Z}=0$ $$(z+1)Z''+2\lambda Z'+\lambda^2 Z=0$$ La solución consiste en funciones de Bessel.

Nota : no olvides que la separación de variables método no da la solución general de la PDE, pero sólo soluciones particulares (uno para cada valor de $\lambda$ , con un coeficiente arbitrario para cada término). Para obtener más soluciones generales, uno tiene que linealmente agregar esas soluciones particulares : ya Sea en forma de serie con discret valores de $\lambda$ , o en formulario continuo que involucra una integral con respecto a $\lambda$ y donde la arbitrariedad de los coeficientes se sustituye por una función arbitraria de $\lambda$.

Answer 2

Sugerencia:

Deje $\begin{cases}w=x\\z=x+y\end{cases}$ ,

A continuación, $u_x=u_ww_x+u_zz_x=u_w+u_z$

$u_{xx}=(u_w+u_z)_x=(u_w+u_z)_ww_x+(u_w+u_z)_zz_x=u_{ww}+u_{wz}+u_{wz}+u_{zz}=u_{ww}+2u_{wz}+u_{zz}$

$u_y=u_ww_y+u_zz_y=u_z$

$u_{yy}=(u_z)_y=(u_z)_ww_y+(u_z)_zz_y=u_{zz}$

$\therefore u_{ww}+2u_{wz}+(z+1)u_{zz}=0$

$u_{xx}+2u_{xz}+(z+1)u_{zz}=0$