Puedo obtener los parámetros de una distribución logarítmico-normal de la media de la muestra y la mediana?

Question

Tengo la media y la mediana de los valores de una muestra tomada de una distribución lognormal. Tenga en cuenta que esta no es la media y la mediana de los registros de la variable, aunque yo, por supuesto, pueden calcular los registros de la media y la mediana. Hay una solución de forma cerrada para μ y σ a partir de esta información? Si sólo hay una solución numérica, ¿me podrías decir cómo encontrarlo, idealmente con R?

Quiero señalar que esta pregunta ha sido respondida para derivar μ y σ a partir de la media muestral y la varianza de la muestra, aquí: ¿Cómo puedo estimar los parámetros de una log-normal de la distribución de la media muestral y la varianza de la muestra Sin embargo, no tengo la varianza de la muestra, sólo la media y la mediana.

Si no hay ninguna forma cerrada o simple numérico de la solución, me gustaría saber si el uso de los registros de la muestra la media y la mediana, o algunos de transformación de ellos, tendrá que proporcionar una razonable respuesta a una muestra grande (cientos de millones).

Answer 1

Más bien depende de lo que quieres decir por "obtener". En general, usted no puede obtener la población cantidades de información de la muestra.

Usted puede fácilmente calcular los parámetros de la población media y la mediana; si $\tilde{m}=\exp(\mu)$ es la población de la mediana y de la $m=\exp(\mu+\frac12\sigma^2)$ es la media de población, a continuación,$\mu=\log(\tilde{m})$$\sigma^2=2\log(\frac{m}{\tilde{m}})=2(\log(m)-\log(\tilde{m}))$.

Por supuesto, usted puede utilizar el ejemplo de la media y la mediana de la muestra en algún tipo de estimador de la población cantidades.

Si sólo las cosas que usted tiene son la muestra de la media y la mediana de un lognormal ( $\bar{x}$ $\tilde{x}$ , respectivamente), entonces usted podría utilizar al menos la clara estrategia de sustitución de población de las cantidades por ejemplo, la combinación de método de los momentos y el método de cuantiles ... $\hat{\mu}=\log(\tilde{x})$$\hat{\sigma}^2=2\log(\frac{\bar{x}}{\tilde{x}})=2(\log(\bar{x})-\log(\tilde{x}))$.

Yo creo que estos estimadores sean coherentes. Sin embargo, en pequeñas muestras serán muy probablemente sesgada (no he intentado calcular el sesgo, pero es normal, ya que la mayoría de los estimadores son sesgados), y puede no ser muy eficiente, pero no puede tener un montón de opciones.

(Por supuesto, en realidad, no se sabe realmente que sus datos proceden de una distribución logarítmico-normal - que eso es mucho más que una suposición. Sin embargo, en la práctica puede ser muy útil suposición.)