Deje $u$ ser un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt 5]$ de norma 1, es decir,$u = r + s \sqrt 5$$r^2-5s^2 = 1$.
La multiplicación por $u$ $\mathbb{Z}[\sqrt 5]$ convierte cualquier elemento $y$ norma $44$ en otro elemento $uy$ norma $44$.
Vista de esta operación de multiplicación en $\mathbb{Z}[\sqrt 5]$ como la transformación del avión $f : (p,q) \rightarrow (pr+5qs,ps+qr)$, y de buscar sus valores propios :
$f(\sqrt5,1) = (r\sqrt5+5s,r+\sqrt5s) = u(\sqrt5,1)$, y tenemos $f(- \sqrt5,1) = \frac 1u (- \sqrt5,1)$.
Si $u>1$ esto significa que el $f$ es una operación que, al repetirse, toma elementos cerca de la línea de $(p = - \sqrt5 q)$ y se mueve sobre la línea de $(p = \sqrt5 q)$
Ahora usted quiere encontrar un sector en el plano de tal manera que se puede llegar a todo el avión por tomar sus imágenes por la recorre de $f$ $f^{-1}$
Definir $g(p,q) = \frac {p + \sqrt5 q}{p - \sqrt5 q}$, que es la relación de las coordenadas de $(p,q)$ en el eigenbasis de $f$.
$g(f(p,q)) = \frac {pr+5qs + \sqrt5 (ps+qr)}{pr+5qs - \sqrt5 (ps+qr)} = \frac{(r+\sqrt5 s)(p + \sqrt5 q)}{(r-\sqrt5 s)(p - \sqrt5 q)} = (r+\sqrt5 s)^2 g(p,q)$.
O, alternativamente, definir $g(y) = y/\overline{y}$, por lo que el $g(uy) = uy/\overline{uy} = u^2 g(y)$.
Así, si nos fijamos en cualquier punto de $(p,q)$, usted sabe que usted puede aplicar $f$ o $f^{-1}$ a convertirlo en $(p',q')$ tal que $g(p',q') \in [1 ; u^2[$
Por lo tanto, un sector del plano es el conjunto de puntos de $(p,q)$ tal que $g(p,q) \in [1 ; u^2[$ : si usted encuentra todos los elementos $y$ norma $44$ tal que $g(y) \in [1 ; u^2[$, esto significa que el $u^ky$ cubre todos los elementos de la norma $44$
Finalmente, lo bueno es que $ \{y \in \mathbb{Z}[ \sqrt 5] / g(y) \in [1; u^2[, y\overline{y} \in [0; M] \}$ es un conjunto finito, por lo que un número finito de cálculo puede dar todos los elementos de la norma $44$ usted necesita.
En el caso de $p²-10q²=9$, una unidad fundamental es $u = 19+6\sqrt{10}$,
por lo tanto, reemplace $\sqrt 5,r,s$ $ \sqrt {10},19,6$ en todo lo que escribí arriba.
Con el fin de encontrar todas las soluciones, sólo se necesita comprobar las posibles soluciones en el sector de el avión entre las líneas de $g(p,q) = 1$$g(p,q) = u^2$.
Usted puede mirar en la intersección de la línea de $g(p,q)=1$, con la curva de $p^2-10q^2 = 9$.
$g(p,q)=1$ implica que el $p+\sqrt{10}q = p- \sqrt{10}q$, lo $q=0$, y, a continuación, la segunda ecuación tiene dos soluciones $p=3$$p= -3$.
Lo que ocurre es que los puntos de intersección tienen coordenadas enteras, para que den soluciones a la ecuación original.
Siguiente, la intersección de la línea de $g(p,q) = u^2$ con la curva de $u \times (3,0) = f(3,0) = (19*3+60*0, 6*3+19*0) = (57,18)$$u \times (-3,0) = (-57,-18)$.
Así que sólo tienes que buscar los puntos en la curva de $p^2-10q^2=9$ con enteros coordenadas en la sección de la curva entre el $(3,0)$ $(57,18)$ (y el uno entre el $(-3,0)$ $(-57,-18)$ pero es esencialmente la misma cosa).
Usted puede escribir un ingenuo programa :
para q = 0 a 17 :
vamos a square_of_p = 9+10*p*q.
si square_of_p es un cuadrado, entonces añadir (sqrt(square_of_p),q) a la lista de soluciones.
Que le dará la lista de $\{(3,0) ; (7,2) ; (13,4)\}$.
Estas tres soluciones, junto con su contrario, va a generar, mediante el avance y retroceso interations de la función $f$, toda la solución en $\mathbb{Z}^2$.
Si sólo desea con la solución positiva de coordenadas, el avance de la iteración de $f$ en las tres soluciones son suficientes.
También, como Gerry señala, el conjugado de a $(7,2)$ genera $(13,4)$ porque $f(7,-2) = (13,4)$. Habíamos elegido un sector del plano simétrico alrededor de la $x$-eje, se podría haber reducido a la mitad el espacio de búsqueda gracias a la simetría, y que hubiéramos obtenido $\{(7,-2),(3,0),(7,2)\}$ lugar.
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Un bucle de este hipnótico animación representa una aplicación de la función de $f$.
Cada punto corresponde a un punto en el plano con coordenadas enteras, y se trasladó a su imagen por $f$ en el curso del bucle.
Los puntos son de color de acuerdo a su norma (y como se puede ver, cada uno de ellos se quedan en sus hiperbólico de la rama de los puntos de compartir su norma), y he hecho el amarillo-ish puntos de la norma 9 (las soluciones de $x^2-10y^2 = 9$) un poco más grande.
Por ejemplo, el punto (3,0) es enviado fuera del gráfico, y el punto (-7,2) se envía en (13,4) (casi desaparición).
Usted puede ver que hay tres puntos a (3,0) durante el curso de un bucle. Que corresponden a los tres representantes más de las tres soluciones de la ecuación.
Para cada amarillento punto en la curva de $x^2-10y^2=9$, no importa cuán lejos a lo largo de la asíntota puede ser, hay un recorrer de $f$ o $f^{-1}$ que envía a uno de los tres soluciones fundamentales.
Con el fin de encontrar todas las soluciones fundamentales, es suficiente para explorar sólo una parte fundamental de la curva (una porción cuya recorre por $f$ cubre la curva), por ejemplo, la parte fundamental de la curva entre (-7,2) y su imagen $f$, (13,4). Para encontrar las soluciones en esa parte, se establece $y=-2,-1,0,1,2,3$ y buscar si existe un número entero $x$ que hace una solución para cada uno de los $y$.
Lo fundamental de la porción de la curva que usted elija, usted encontrará 3 soluciones en su interior, cuyas imágenes por $f$ son enviados a los próximos tres soluciones en la siguiente porción de la curva, y así sucesivamente.
Ahora hay un mejor procedimiento de la "bruta de búsqueda" que hice para obtener todas las soluciones.
Se trata de una adaptación del procedimiento para obtener una unidad fundamental :
Empezar con la ecuación $x^2-10y^2 = 9$, y supongamos que se desea que todas las soluciones positivas.
Observamos que debemos tener $x > 3y$ o más $-y^2 \ge 9$, lo cual es claramente imposible.
Así, reemplace $x$$x_1 + 3y$.
Obtenemos la ecuación $x_1^2 + 6x_1 y - y^2 = 9$.
Observamos que debemos tener $y > 6x_1$ o más $x_1^2 \le 9$.
En este caso podemos obtener rápidamente los tres pequeños de soluciones de $(x_1,y) = (1,2),(1,4),(3,0)$ que corresponden a las soluciones de $(x,y) = (7,2),(13,4),(3,0)$.
De lo contrario, continuar y reemplace$y$$y_1 + 6x_1$.
Obtenemos la ecuación $x_1^2 - 6x_1y_1 - y_1^2 = 9$.
Observamos que debemos tener $x_1 > 6y_1$ o más $-y_1^2 \ge 9$, lo cual es claramente imposible.
Así, reemplace $x_1$$x_2 + 6y_1$.
Obtenemos la ecuación $x_2^2 + 6x_2y_1 - y_1^2 = 9$.
Pero ya hemos encontrado que la ecuación para saber cómo resolverlo.
