He estado luchando con esto por algún tiempo. Puedo probar el Lema de la Serpiente, pero yo realmente no "entender". Por eso me refiero a que si nadie me lo dijo la Serpiente Lema existido, yo ni siquiera intento de demostrarlo. Creo que me faltan algunos de los más importantes de la intuición que me dice que el lema "podría" ser verdadero antes de que realmente está tratando de demostrar. Por favor, dame algunos consejos.
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Urs Schreiber
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Todas estas diagrama persiguiendo lema (lema de la serpiente, $3x3$ lema, cuatro lema, cinco lema, etc.) siga directamente de la "salamandra lema" debido a George Bergman, ver salamandra lema.
Y que es bastante transparente. Es tan transparente que, por ejemplo, es inmediato ver (que no hay libro de texto nunca se menciona) que no son tan fácilmente 4x4 lemas, 5x5 lemas, 6x6 lemas. etc. En otras palabras: una vez que vea la simple idea de la salamandra lema, usted puede venir a usted con más diagrama de perseguir a los lemas.
Un caso especial es fácil de ver: Imagine que $A \leq Un' \leq B=B$ y $C=B/A$ y $C'=B'/A'$, con la obvia mapas a partir de un módulo $M$ M$'$. Los granos son $0$, $0$ y $'/$. El cokernels se $A'/A$, $0$, $0$. El último kernel y la primera cokernel están vinculados.
El lema de la serpiente es sólo uno de los teoremas de isomorfismo. Como se deforman $B$ y $B$ más, ¿cómo los granos y cokernels deforme? El último kernel y la primera cokernel ya no necesita ser isomorfo, pero el kernel y cokernel de que la vinculación (snakey) mapa puede ser descrito en términos de los núcleos y cokernels que ya existe. Una relación específica es el lema de la serpiente.
Ejemplo de deformación
Un ejemplo de deformación puede ser útil: distorsionan la $A' \B' \C'$ la secuencia de quotienting a cabo por unos $M \leq B$ (imagine $M=IB$ para algún ideal $I$, por lo que estamos tensoring la segunda línea con $R/I$). ¿Cómo afecta este cambio a los núcleos y cokernels?
La primera línea es de $$0 \a \B \B/\a 0,$$ y la segunda línea se convierte en $$ 0 \(a'+M)/M \B'/M \B'/A'+M) \to 0$$ por eso los granos son $A \cap M$, $M$ y $(A'+M)/A$ y el cokernels convertido en $(A'+M)/(a+M)$, $0$ y $0$. El último kernel y la primera cokernel están relacionados, pero no son iguales. Uno tiene claramente la relación $0 \a (a+M)/\(a'+M)/\(a'+M)/(a+M) \to 0$ donde los dos últimos distinto de cero términos son el último kernel y la primera cokernel. El primer término es extraño, sin embargo. Aplicamos otro teorema del isomorfismo para escribir $(a+M)/A \cong M/(A\cap M)$ y, a continuación, la solución es clara: ya Tenemos $0 \a \cap M \M \M/(M\cap a) \to 0$ así que de empalme a estos dos juntos para conseguir la serpiente lema: $$ 0 \a \cap M \M \(a'+M)/A \(a'+M)/(a+M) \0 \0 \0$$
M Turgeon
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Creo que la mejor motivación para el Lema de la Serpiente tiene que ver con el Largo de la Secuencia Exacta en la (Co)homología. También puede ser pensado como la intuición, ya que el largo de la secuencia exacta está ahí para reparar la no exactitud de una izquierda exacto (o a la derecha-exacto) el functor, y la forma de definir la conexión de homomorphism es a través de la Serpiente lema.
