Demuestra que todo número primo impar se puede escribir como diferencia de dos cuadrados.

Question

1. Demuestra que todo número primo impar se puede escribir como diferencia de dos cuadrados.
2. Demuestre también que esta presentación es única.
3. ¿Es posible esta presentación si p es sólo un número natural impar?
4. ¿Se puede representar el 2 de esta manera?

Respuestas

\3. Sí, la presentación (es decir, que los números Impares se escriban como diferencias de dos cuadrados) es posible para todos los números naturales Impares, pero la presentación puede no ser única. Por ejemplo, $57=11^2-8^2=29^2-28^2$ .

\4. 2 no puede escribirse como diferencia de dos cuadrados porque 4-1=3 y 1-1=0 y la diferencia de cuadrados crece a enteros mayores que 3.

¿Pueden ayudarme a probar las preguntas 1 y 2?

Answer 1

$1$ . Dejemos que $(x+y)(x-y) = p$

Desde $p$ es primo, el divisor menor tiene que ser uno, es decir $(x-y) = 1$ , dando $2y+1 = p \implies y = \frac{p-1}{2}$ (se garantiza que y es un número entero porque $p$ es un número impar).

Así que el único conjunto de soluciones posibles es $x = \frac{p+1}{2}, y = \frac{p-1}{2}$

$2$ . La singularidad ya se ha establecido mediante el razonamiento anterior.

$3$ . Es posible, pero no será único ya que $(x-y)$ puede tomar varios valores, por ejemplo $1$ o un único divisor primo de $p$ o un producto de algunos (pero no todos) divisores primos de $p$ .

$4$ . No, porque de nuevo $(x-y)$ = 1 es forzado. Pero ahora se obtiene $x = \frac{3}{2}$ que no es integral. Así que no existen conjuntos de soluciones enteras.

Answer 2

Sugerencia . Si $p$ es primo y $p\ne2$ , ¿puede resolver $$p=(x+y)(x-y)\ ?$$ ¿Hay más de una solución?

Answer 3

Me he encontrado con este problema en un libro que estaba leyendo. He encontrado algunas soluciones y pruebas interesantes por mí mismo que estoy compartiendo.

Tenemos que demostrar que todo número primo se puede expresar como $a^2-b^2$ donde a y b son enteros positivos.

Sea p un número primo. Demostraré que p puede expresarse como $a^2-b^2$ y también mostrar que podemos representar p de esa manera para una determinada relación entre a y b.

Al principio, fíjate en eso: $p = a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

Así, hemos encontrado dos factores de un número, p, que es primo. Ahora, p sólo tiene 1 y p como factores, por lo tanto, o bien $(a+b) = p$ y $(a-b) = 1$ o $(a-b) = p$ y $(a+b) = 1$ .

Pero, como a y b son enteros positivos, $(a+b) > (a-b)$ . Como todos los primos son mayores que 1, $[(a+b) = p] > [(a-b) = 1]$ .

Así que, tenemos:

$a-b = 1$

$\implies a = b+1$

Entonces, ¡a y b son dos enteros positivos consecutivos! Ahora, sabemos que

$a+b = p$

$\implies b+(b+1) = p$ .

Por tanto, si podemos demostrar que todo número primo puede expresarse como la suma de dos enteros positivos consecutivos, también demostraremos que todo número primo puede expresarse como la diferencia de dos cuadrados.

Ahora, sólo tenemos que ocuparnos de los primos Impares (todos los primos excepto el 2). Sabemos que todo número impar puede expresarse como 2k+1, donde k es un número entero positivo.

$2k+1 = k+(k+1)$ .

Por tanto, todo número impar puede expresarse como la suma de dos enteros positivos consecutivos.

Así, también hemos demostrado que todo número primo impar puede expresarse como la suma de dos enteros positivos consecutivos.

Por lo tanto, hemos demostrado que todo número primo puede expresarse como $a^2-b^2$ donde a y b son enteros positivos (y también enteros positivos consecutivos).

Q.E.D

Otra forma de demostrar esto de una manera mucho más simple y algebraica (que es fácil de hacer una vez que se conoce el hecho de que a y b en la prueba anterior son enteros positivos consecutivos) es esta:

Supongamos que tenemos un entero positivo n. El entero positivo que le sigue es n+1.

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n+1$ [que es un número impar]

Ahora, el entero positivo justo después de n+1 es n+2.

$(n+2)^2 - (n+1)^2 = n^2 + 4n + 4 - n^2 - 2n - 1 = 4n - 2n - 4 - 1 = 2n+3$ [que también es un número impar]

Así, la diferencia de cuadrados de n y $n+1$ y $n+1$ y $n+2$ nos da $2n+1$ y $2n+3$ respectivamente, que son dos números Impares consecutivos. Así, la diferencia de cuadrados de dos enteros positivos consecutivos cubre TODOS los números Impares. Como todos los primos son Impares, también se pueden representar de esa manera.

Respondiendo a sus preguntas por orden:

1. Demuestra que todo número primo impar puede escribirse como diferencia de dos cuadrados: Demostrado de dos maneras arriba.
2. Demuestre también que esta presentación es única: Como los números primos tienen que ser expresados como la diferencia de cuadrados de dos enteros CONSECUTIVOS, la representación es única para cada número primo/impar.
3. ¿Es posible dicha presentación si p es sólo un número natural impar?: Sí [Se muestra en las dos pruebas]
4. ¿Se puede representar el 2 de esta manera?: No, ya que el 2 no es un número impar.

Answer 4

Encontré algo muy útil, el producto de dos números Impares cualesquiera siempre se puede expresar como la diferencia de cuadrados de dos enteros.

Sean a,b pertenecientes a Z+ , dos números Impares,

Ahora a+b es siempre par, y [a+b]/2 genera ciertamente un entero y también [a-b]/2 genera otro entero.

Ahora {[a+b]^2/4} -{[a-b]^2/4} = ab

Consideremos ahora el caso de cualquier número primo impar

Cualquier número primo se puede escribir como P X 1 ya que no se puede descomponer más.

Así que {[p+1]^2/4}-{[p-1]^2/4} = p

Cualquier número primo impar puede expresarse como la diferencia de cuadrados de dos enteros. Por supuesto que es único, ya que los números [P+1]/2 y [P-1]/2 son únicos para un número primo dado. .