Cómo mostrar $\frac{\mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_n}{\langle (a,b)\rangle}\simeq \mathbb{Z}_{\frac mc}\times \mathbb{Z}_{\frac nd}$?

Question

Supongamos que tenemos el grupo de $\frac{\mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_n}{\langle (a,b)\rangle}$. Tenemos que justificar que

(i) No existe $c, d$ tal que $\langle (a,b)\rangle$ es isomorfo al grupo $\mathbb{Z}_c\times \mathbb{Z}_d$$c\mid m, d\mid n$.

(ii) $\frac{\mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_n}{\langle (a,b)\rangle}\simeq \mathbb{Z}_{\frac mc}\times \mathbb{Z}_{\frac nd}$.

Cómo mostrar estas ?

El primero traté como: Desde $\langle (a,b)\rangle$ es cíclico no es $\alpha$ tal que $\langle (a,b)\rangle\simeq \mathbb{Z}_\alpha$. Y, a continuación,$\alpha\mid mn$, lo que significa que podemos encontrar dos relativamente primos $c,d$ tal que $cd=\alpha, c\mid m, d\mid n$$\mathbb{Z}_\alpha\simeq \mathbb{Z}_c\times \mathbb{Z}_d$. Entonces ?

Answer 1

(i) En efecto, $\alpha$ es el orden de $(a,b)$$\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$, lo $\alpha=\operatorname{lcm}(m',n')$ donde$m'=\operatorname{ord}(a)\mid m$$n'=\operatorname{ord}(b)\mid n$. Set $d'=\gcd(m',n')$ y escribir $m'=d'm_1'$, $n'=d'n_1'$ con $\gcd(m_1',n_1')=1$. A continuación,$\alpha=d'm_1'n_1'$.
Ahora tu objetivo es escribir $\alpha=\alpha_1\alpha_2$ $\gcd(\alpha_1,\alpha_2)=1$ y $\alpha_1\mid m'$, $\alpha_2\mid n'$. Esto se puede hacer de la siguiente manera. Si $\gcd(d'm_1',n_1')=1$ o $\gcd(m_1',d'n_1')=1$, a continuación, establezca $\alpha_1=d'm_1'$ $\alpha_2=n_1'$ o$\alpha_1=m_1'$$\alpha_2=d'n_1'$, respectivamente. De lo contrario, hay algunos de los números primos en común entre el$d'$$n_1'$, respectivamente, entre el $d'$ $m_1'$ (pero no hay números primos en común entre estos dos conjuntos de números primos desde $\gcd(m_1',n_1')=1$). Ahora escribo $d'=ed_1'd_2'$ donde $d_1'$ es el producto de todos los números primos entre $d'$ y $m_1'$, $d_2'$ es el producto de todos los números primos entre $d'$$n_1'$, e $e$ es el producto de los números primos en $d'$ que no se muestran ni en $m_1'$ o en $n_1'$. A continuación, $\alpha=(ed_1'm_1')(d_2'n_1')$ y el aviso de que $\gcd(ed_1'm_1',d_2'n_1')=1$.

(ii) mediante el uso de la SNF de la matriz cuyas filas son $(a,b)$, $(m,0)$, y $(0,n)$ una $$\frac{\mathbb{Z}_m\times \mathbb{Z}_n}{\langle (a,b)\rangle}\simeq \mathbb{Z}_{d_1}\times \mathbb{Z}_{d_2},$$ donde$d_1=\gcd(a,b,m,n)$$d_2=\gcd(bm,an,mn)/d_1$. Tenemos $d_1\mid m$, pero no puedo ver por qué $d_2\mid n$.