¿Por qué lazo no es estrictamente convexa

Question

Conozco a un no-monótono convexa de la función alcanza su valor mínimo en un único punto, sólo es estrictamente convexa. Yo no entiendo cómo lazo no es estrictamente convexa. Por ejemplo, si observo el caso de dos dimensiones.

$||x||_1$ alcanza su valor mínimo en (0,0), que es único

Answer 1

Pensé que estrictamente convexa de la función es una función convexa que tiene un único minimizer. Estoy diciendo que esto fue la definición incorrecta.

De hecho, este fue bastante mal, y la fuente de confusión aquí. Lo cierto es que la estricta convexidad está relacionado con la singularidad de minimizer: si una estrictamente convexa de la función alcanza su valor mínimo, y luego lo hace en exactamente un punto. Sin embargo, con único minimizer no implica la estricta convexidad, o cualquier convexidad.

Es importante recordar que hay dos diferentes nociones de estricta convexidad. Es decir, tenemos:

1. Estrictamente convexa funciones: $u(ta+(1-t)b)<tu(a)+(1-t)u(b)$ $0<t<1$
2. Estrictamente convexa normas: $\|ta+(1-t)b\|<t\|a\|+(1-t)\|b\|$$0<t<1$, a menos que $a$ $b$ son vectores paralelos.

Una norma puede nunca ser estrictamente convexa de la función en el sentido de la definición 1, debido a que para cualquier vector distinto de cero $x$ tenemos $$\|2x\|=\frac12({\|x\|+\|3x\|}),\quad \text{where }\ 2x=\frac12(x+3x)$$ Esta es la razón por la definición de una estrictamente convexa de la norma requiere que no haya vectores paralelos. Pero $\|\cdot\|_1$ falla la segunda definición: por ejemplo, $$\|e_1+e_2\|=\frac12({\|2e_1\|+\|2e_2\|}),\quad \text{where }\ e_1+e_2=\frac12(2e_1+2e_2)$$ y $e_1,e_2$ son estándar vectores de la base.