Apoyo y producto tensor dudas

Question

Algunas preguntas:

1) Esta es la proposición $3.5$ , la página de $39$ de Atiyah y Macdonald libro.

Deje $M$ $A$- módulo. A continuación, $S^{-1}A \otimes_{A} M \cong S^{-1}M$ $S^{-1}A$- módulos.

Así que la idea es utilizar la característica universal del producto tensor. La asignación de $S^{-1}A \times M \rightarrow S^{-1}M$ $(a/s,m) \mapsto am/s$ $A$- bilineal, así que conseguir un $A$-lineal mapa de $f: S^{-1}A \otimes_{A} M \rightarrow S^{-1}M$$f((a/s) \times m) = am/s$.

A continuación, el resto de la prueba se muestra el mapa es inyectiva y surjective. Mi pregunta es, no podemos simplemente dar a la inversa? deje $g: S^{-1}M \rightarrow S^{-1}A \otimes_{A} M$$g(m/s) = 1/s \otimes m$.

Entonces tenemos:

$(g \circ f)((a/s) \otimes m)=g(f(a/s))=g(am/s)=1/s \otimes am = a/s \otimes m$.

Asimismo, para $f \circ g$.

2) Este ejercicio es $4$ (mismo libro) página $44$: vamos a $f: A \rightarrow B$ ser un anillo homomorphism y deje $S$ ser un multiplicatively subconjunto cerrado de $A$. Deje $T=f(S)$. Mostrar que $S^{-1}B \cong T^{-1}B$ $S^{-1}A$- módulos.

Mi pregunta aquí: ¿por $S^{-1}B$ hace sentido? Pensé que siempre se necesitaba que el multiplicatively conjunto cerrado es un subconjunto de un anillo de $B$ aquí $S \subseteq A$, razón por la que podemos tomar la localización entonces?

3) Deje $M$ $A$- módulo vamos a $\textrm{Supp}(M)=\{P \in Spec(A) : M_{P} \neq 0\}$, el apoyo de $M$.

Quiero calcular $\textrm{Supp}(\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ (considerado como un $\mathbb{Z}$-módulo).

Sé que, en general,$\textrm{Supp}(M_{1} \oplus M_{2}) = \textrm{Supp}(M_{1}) \cup \textrm{Supp}(M_{2})$.

Por lo tanto, dos dudas aquí:

$\textrm{Supp}(\mathbb{Z}) = \{0\} \cup \{(p) : \textrm{p is prime}\}$ derecho? porque si vamos a localizar en primer ideales no conseguimos el trivial módulo.

Por otro lado creo que $\textrm{Spec}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \{(0)\}$ y si localizamos $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $(0)$ encontramos de nuevo $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ porque $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es un campo a la derecha?

Así que, en conclusión $\textrm{Supp}(\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \{(0)\} \cup \{(p): \textrm{ p is prime}\}=\textrm{Spec}(\mathbb{Z})$.

Es correcto esto?

Gracias de antemano

\textbf{EDITAR}: lo Siento, me refería a $\textrm{Supp} (\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.

Answer 1

(1) ciertamente, puede que también. Usted sólo tendrá que comprobar que el mapa $g$ está bien definido, y que es una de morfismos de $S^{-1}A$-módulos (recuerde que la expresión $m/s$ no es única).

(2) Aquí $B$ es dada la estructura canónica de una $A$-módulo, $a\cdot x = f(a)x$.

(3) Dado que el $\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$- módulos, usted tiene $\text{Supp}(\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \text{Supp}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$. Para un primer $P \in \mbox{Spec }\mathbb{Z}$, la localización de la $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_P$ $0$ si y sólo si $P\neq (2)$.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\supp}{supp}$(1), creo que esta es una buena manera de hacerlo, aunque se debe tener cuidado al definir los mapas de algo como $S^{-1}M$. Desafortunadamente, la mayoría de los libros omitir la característica universal del localizada módulo, pero es un buen ejercicio para averiguar qué es. Menos elegantemente, se podría definir un mapa de conjuntos de $S \times M \to S^{-1}A \otimes M$ y comprobar que se respeta la relación de equivalencia utilizada en la construcción.

Creo que se han mezclado la suma directa y el producto tensor en su intento de resolver (3). Estoy de acuerdo con su cálculo de $\supp(\mathbf{Z})$, pero como Bruno dice que resulta ser innecesario para este problema. También tenga en cuenta que usted no tratando de encontrar el apoyo de $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ como un módulo más de sí mismo; si lo fuera, entonces yo estaría de acuerdo con tu respuesta.

Un hecho que le podría gustar, que sería una exageración para este problema: si $M, N$ son finitely módulos generados sobre $A$, entonces es cierto que $\supp(M \otimes N) = \supp(M) \cap \supp(N)$. Ver Ex. 3.19(iv) en Atiyah-Macdonald.

Answer 3

Para 3), ${\bf Z} \otimes {\bf Z}/2$ es lo mismo que ${\bf Z}/2$, por lo que el apoyo es de $Spec({\bf Z}/2)$, que es el 0 ideal como usted dice. Pero también parece ser la mezcla de la 0 ideal en ${\bf Z}/2$ y en el de ${\bf Z}$.