La combinatoria pregunta sobre el número de enteros soluciones dadas las diferentes restricciones

Question

Cuántos entero no negativo que soluciones hay para $$x_1 + x_2 + \ldots + x_5 = 20$$

(a) Con $x_i \leq 10$?

(b) Con $x_i \leq 8$?

(c) Con $x_1 = 2x_2$?

Aquí es lo que yo hice:

(a) ${24\choose 4} - 5{14\choose 4}$

Hice esto mediante la asignación de $10$ a una $x_i$ y luego ir desde allí. Me resta este caso y el número total de casos para obtener el número de casos que desee.

Estoy pensando que esto debería ser más bien ${24\choose 4} - 5{13\choose 4}$ pero no estoy seguro...creo esto porque tal vez debería haber asignado $11$ a una $x_i$ en lugar de $10$ y luego se resta este de el número total de maneras.

(b) $5{15\choose 3} - 4{6\choose 3}$

Yo también estoy confundido con mi propio trabajo. Me asignaron originalmente $8$ a una $x_i$ y se deshizo de esta variable a partir de la consideración. Luego tuve $12$ restante para $n$ e $3$ para $m$ así que tuve ${15\choose 3}$ de los resultados. Entonces me resta el caso en que otra variable recibió $9$ o más, así que asignan $9$ a otra variable. Y luego tuve $3$ restante para $n$ e $3$ para $m$, por lo que tuve ${6\choose 3}$. Desde allí se $4$ candidatos para el mayor que $8$ votos solía ${4\choose 1}$.

(c) realmente necesito ayuda con esta parte, ni siquiera estoy seguro de por dónde empezar...

Answer 1

Cuántos entero no negativo son las soluciones a la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20$$ if $x_i \leq 10$ for $1 \leq i \leq 5$?

Sin restricciones, el número de soluciones de la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20 \tag{1}$$ es $$\binom{20 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{24}{4}$$ como se encontró. La condición es violado si una de las cinco variables excede $10$. Tenga en cuenta que en la mayoría de los una de las variables puede exceder $10$ desde $2 \cdot 11 = 22 > 20$.

Elija cual de las cinco variables viola la condición. Puesto que la ecuación es simétrica con respecto a las variables, podemos suponer es $x_1$. Deje $x_1' = x_1 - 11$. A continuación, $x_1'$ es un entero no negativo. Sustituyendo $x_1' + 11$ para $x_1$ en la ecuación 1 y la simplificación de los rendimientos $$x_1' + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 9 \tag{2}$$ La ecuación 2 es una ecuación en los números enteros no negativos con $$\binom{9 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{13}{4}$$ Por lo tanto, hay $$\binom{5}{1}\binom{13}{4}$$ soluciones que violar las restricciones.

Por lo tanto, hay $$\binom{24}{4} - \binom{5}{1}\binom{13}{4}$$ admisible soluciones, por lo que su segundo intento fue a la derecha.

Cuántos entero no negativo son las soluciones a la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20$$ if $x_i \leq 8$ for $1 \leq i \leq 5$?

En este caso, en la mayoría de dos de las variables que podría superar las restricciones desde $2 \cdot 9 = 18 < 20 < 27 = 3 \cdot 9$.

Elija cual de las cinco variables excede la restricción. Puesto que la ecuación es simétrica con respecto a las variables, podemos suponer es $x_1$. Deje $x_1' = x_1 - 9$. A continuación, $x_1'$ es un entero no negativo. Sustituyendo $x_1' + 9$ para $x_1$ en la ecuación 1 y la simplificación de los rendimientos $$x_1' + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 11 \tag{3}$$ La ecuación 3 es una ecuación en los números enteros no negativos con $$\binom{11 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{15}{4}$$ soluciones. Por lo tanto, hay $$\binom{5}{1}\binom{15}{4}$$ casos en los que una de las variables que se viola una restricción.

Sin embargo, si restamos este del total, le han restado mucho desde que nos han contado cada caso en el que dos de las variables de violar una restricción de dos veces, una para cada manera de que podríamos haber designado una de las variables como el que viola una restricción. Por lo tanto, tenemos que añadir estos casos.

Hay $\binom{5}{2}$ maneras de seleccionar dos de las cinco variables viola una restricción. Puesto que la ecuación es simétrica con respecto a las variables, podemos suponer que se $x_1$ e $x_2$. Deje $x_1' = x_1 - 9$ e $x_2' = x_2 - 9$. Sustituyendo $x_1' + 9$ para $x_1$ e $x_2' + 9$ para $x_2$ en la ecuación 1 y la simplificación de los rendimientos $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 2 \tag{4}$$ La ecuación (4) es una ecuación en los números enteros no negativos con $$\binom{2 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{6}{4}$$ soluciones. Por lo tanto, hay $$\binom{5}{2}\binom{6}{4}$$ casos en los que dos de las restricciones son violados.

Por la Inclusión-Exclusión Principio, el número de soluciones es admisible $$\binom{24}{4} - \binom{5}{1}\binom{15}{4} + \binom{5}{2}\binom{6}{4}$$

Cuántos entero no negativo son las soluciones a la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20$$ if $x_i \leq 8$ if $x_1 = 2x_2$?

Considere los casos.

1. Si $x_1 = x_2 = 0$, a continuación, $x_3 + x_4 + x_5 = 20$.
2. Si $x_1 = 2$ e $x_2 = 1$, a continuación, $x_3 + x_4 + x_5 = 17$.
3. Si $x_1 = 4$ e $x_2 = 2$, a continuación, $x_3 + x_4 + x_5 = 14$.
4. Si $x_1 = 6$ e $x_2 = 3$, a continuación, $x_3 + x_4 + x_5 = 11$.
5. Si $x_1 = 8$ e $x_2 = 4$, a continuación, $x_3 + x_4 + x_5 = 8$.
6. Si $x_1 = 10$ e $x_2 = 5$, a continuación, $x_3 + x_4 + x_5 = 5$.
7. Si $x_1 = 12$ e $x_2 = 6$, a continuación, $x_3 + x_4 + x_5 = 2$.