Una función que no es la contractura con respecto a cualquier métrica

Question

Estoy luchando con esta tarea cuestión es relativa a la iterada de la función del sistema y el punto fijo de la teoría. La pregunta es:

Deje $\Delta \in R^2$ ser un lleno de no-degenerada triángulo con vértices $A,B,C\in R^2$. Deja D ser el punto medio del lado $BC$. Ahora definir dos transformaciones afines por $f_1(ABC)=ABD$$f_2(ABC)=CAD$. (Escribimos $f(PQR)=STU$ a media f$(P)=S,f(Q)=T,f(R)=U$). Deje $\mathcal{F}$ ser la iterada de la función de sistema de $\{\Delta;f_1,f_2\}$. Ahora tenemos que mostrar

(1)$f_2$ no es contractiva w.r.t cualquier métrica (que induce en $\Delta$ la topología usual)

(2) Demostrar o proporcionar pensamientos que $\mathcal{F}$ possese un único atractor.

(3) explicar cómo es esto consistente con el hecho de que si $\mathcal{F}$ es un afín iterada de la función del sistema en $R^M$ que posee un único atractor, entonces no es una métrica w.r.t que es la contractura.

Para (1) , he tratado de mostrar que no hay punto fijo de $f_2$. Sin embargo, la imagen es como la reducción de la original hacia algún lugar a lo largo del segmento de recta desde C hasta el punto medio de AD y no veo por qué no hay ningún punto fijo.

No sé cómo hacer (2) y (3).Pero para (3), estoy sospechando de que tenemos que inventar una métrica que hace $f_1\copa f_2$ siendo contractiva con respecto a esta métrica. Alguna idea? Gracias por la ayuda.

Answer 1

El mapa de $f_2$ tiene un (único) punto fijo. Para describirlo, uso baricéntrico de coordenadas basado en el triángulo $ABC$ de los que tomaron las coordenadas como $A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$. Entonces cada punto en el plano tiene una expresión única como $xA+yB+zC$ donde $x+y+z=1.$ (valores negativos están bien, que vaya con los puntos fuera del triángulo de referencia $ABC.$)

Las coordenadas de $D$ entonces $(0,\frac12,\frac12)$ ya que es el punto medio de la $BC$. Ahora desde $f_2$ mapas de $A \to C, \ C \to B, \ B \to D$ podemos representar a $f_2$ como una matriz de $M$ que se multiplica un vector de columna $(x,y,z)^t$ a la izquierda para crear la imagen en el punto de $(x,y,z)$ bajo $f_2.$ Esta matriz es $$ M= \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac12 \\ 1 & 0 & \frac12 \end{de la matriz}.$$

El uso de este para establecer un punto fijo (reseteando $Mv=v$ y problemas) le da el único punto fijo para estar en baricéntrico coordenadas $(\frac14,\frac14,\frac12)$. Concretamente esto significa que el punto de $\frac14A +\frac14B +\frac12C$ es el (único) punto fijo de $f_2.$

Nota al margen: Este punto fijo tiene una interpretación geométrica. Puede considerarse como el punto medio de la mediana de $C$ lado $AB$ del triángulo $ABC$. Es decir, bisecar $BC$ en el punto de $X$, y, a continuación, el punto fijo de $f_2$ será el punto medio de la "mediana", que es el segmento de $AX$.

Answer 2

Confieso que aún no me miró en su función particular. Pero creo que, en principio, la respuesta es dada por el siguiente resultado.

Teorema (Bessaga): Vamos a $X$ ser un conjunto no vacío y $f: X \rightarrow X$ un mapa. Denotar por $f^n$ $n$- composición del pliegue $f \circ \ldots \circ f$. A continuación, los siguientes son equivalentes:
(i) Para cada entero positivo $n$, $f^n$ tiene más de un punto fijo.
(ii) $X$ admite una métrica $d$ con respecto a la cual se $f$ es una contracción: hay algunos $\alpha \in (0,1)$ tal que para todo $x,x' \in X$, $d(f(x),f(x')) \leq \alpha d(x,x')$.

Ver, por ejemplo, aquí una prueba. (Esto lo aprendí en el resultado de una maravillosa coloquio de la charla dada por Keith Conrad. Él tiene una estrecha relación expositiva nota.)

De todos modos, el punto de que el teorema anterior es que en el fin de mostrar que $f$ no es una contracción con respecto a cualquier métrica (es decir, no necesariamente completa métrica), no quiere demostrar que no hay puntos fijos. Por el contrario, desea encontrar algunos recorrer el cual tiene al menos dos puntos fijos. Tal vez en tu caso vas a tener suerte y algunos recorrer es más fácil de entender?

Añadido: acabo de darme cuenta de que se está restringiendo a las métricas que inducir el estándar de la topología en $\Delta$. Desde $\Delta$ es compacto en el estándar de la topología, esto obliga a la integridad. Todavía puede intentar mirar recorre a ver si eso hace las cosas más fáciles...

Por otro lado, su tercera pregunta, en realidad, no parece ser un caso especial de Bessaga del Teorema (junto con la observación de que el punto fijo, siendo atractivo de las fuerzas de todos los recorre a tener el mismo y único punto fijo).