La cardinalidad de un álgebra de

Question

Supongamos que $B$ es el álgebra Booleana de todos los Lebesgue medibles pone en $I=[0,1]$ modulo Null conjuntos.

Yo estoy pidiendo

(1) ¿Cuál será la cardinalidad de a $B$. ¿Tiene que ser $|B|=\mathfrak c$.

(2) ¿existe alguna $b\in B$ que no es conjunto de Borel.

Answer 1

La cardinalidad es $\mathfrak c$: en Primer lugar, es al menos $\mathfrak c$, como los conjuntos de $(0,x)$ son todos no equivalentes para diferentes valores de $x\in[0,1]$. Segundo, la medida de Lebesgue es regular, por lo que cualquier conjunto medible contiene un $\sigma$-compacto subconjunto de la misma medida, y está contenida en un $G_\delta$ superconjunto de la misma medida. Esto demuestra que cada clase de equivalencia tiene un Borel representante. Pero sólo hay $\mathfrak c$ conjuntos de Borel.

Answer 2

Sí le dio el $X$ Lebesgue medibles tomar la intersección de una contables de la secuencia de abrir conjuntos de $O_n \supseteq X$ tal que $m(O_n) \leq m(X) + \frac{1}{n}$. Entonces $m(\bigcap O_n-X)=0$ $X\equiv \bigcap O_n$ $B$ . Esto significa que cualquier clase de equivalencia en $B$ contiene un $G_{\delta}$.