Un límite de la participación de algunos de binomios

Question

Deje $C_k^i=\frac{k!}{i!(k-i)!}$. Mostrar que $$\lim_{k\to\infty}\frac{C_k^i+C_k^{n+i}+\cdots+C^{([k/n]-1)n+i}_k}{2^k}=\frac{1}{n}$$ for any $1\leq i<n$. Here $i,n$ ser enteros positivos.

Como es bien sabido, $\sum_{i=0}^k C_k^i=2^k$. Pero, ¿cómo demostrar que el límite anterior? Elija $C_k^i$ después $n$ bloques.

Answer 1

Supongamos que tenemos $k$ interruptores, cada uno puede estar encendido o apagado. Hay $n$ luces, numeradas $0,1,\dots,n-1$. El $i$-ésimo de la luz se encenderá si y sólo si el número de interruptores que están a es congruente a $i$ modulo $n$.

La probabilidad de que el $i$-ésimo de la luz es $\displaystyle \frac{C_k^i+C_k^{n+i}+\cdots+C^{[k/n]n+i}_k}{2^k}$.

No es exactamente una de las luces de encendido. Como $k\to \infty$, cada luz tiene igual oportunidad de ser. Así que la probabilidad de que una luz particular es $\displaystyle \frac{1}{n}$.

Answer 2

Esto debería ayudar.

$$ \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{C^i_k+C^{n+1}_k+...}{2^k}=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}(2 \cos{\frac{\pi j}{n}})^k \cos{\frac{\pi kj}{n}}}{2^k}$$ and because $k \rightarrow \infty$, sólo el primer término de la suma es diferente de 0 por lo tanto, $$\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{C^i_k+C^{n+1}_k+...}{2^k} = \frac{1}{n}$$.