Desde que el primer jugador tiene un número ilimitado de monedas que no te debe importar cuánto dinero se pierde y no hay ninguna predicción sobre su estrategia posible. Pero sólo permite suponer que él quiere perder tan poco dinero como sea posible.
Deje que el jugador 1 elige la moneda $C_1$ con una probabilidad de $p$ y dejar que el jugador 2 elige la moneda $C_1$ con una probabilidad de $q$.
Entonces el valor esperado para el jugador 2 es
$$2pq+5(1-p)(1-q)-(1-pq-(1-p)(1-q))x$$
$$=7pq-5p-5q+5-x(p+q-2pq)$$
El jugador 2 quiere maximizar su beneficio dependiendo el primer jugador de la estrategia. De forma que podamos obtener wrt $q$:
$$7p-5-x(1-2p)$$
Si el dervative es positivo, el jugador 2 elige $q$ maximal, es decir, $q=1$ a las ganancias en $2p-x(1-p)$,
si es negativo, el jugador 2 elige $q$ mínima decir $q=0$ a las ganancias en $5-5p-xp$,
y si es cero, su elección no importa y para todos los que vale la pena, podemos suponer que él toma $q=0$.
Así que el jugador 1 quiere minimizar el máximo de $2p-x+px$$5-5p-xp$. Ya que uno es la disminución de la función de $p$ y la otra es aumentar el equilibrio es el punto en que son iguales:
$$2p-x+px=5-5p-xp\Leftrightarrow p=\frac{5+x}{7+2x}$$
La ganancia del jugador 2 es
$$(2+x)\frac{5+x}{7+2x}-x$$
Esto es positivo si y sólo si $x\leq \sqrt{10}\simeq 3.16$
Editar supongo que podría ser capaz de agilizar la solución de un poco ya que esta $x$
es, precisamente, el valor para el cual la derivada anterior se desvanece. Sospecho que esto no es una coincidencia. Por desgracia, no tengo idea de la teoría general y basado en mi solución únicamente en el sentido común.
