El espacio de general interno de los productos en $\mathbb{R}^n$
En $\mathbb{R}^n$, la más general de definición de un producto interior , es que un producto interior es de unos bilineal mapa de $F \,:\, \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Es fácil ver que la bilinearity implica que $F$ está totalmente determinado por las imágenes de los pares de vectores de la base de $\mathbb{R}^n$, es decir, si $(b_i)_{1\leq i \leq n}$ es una base de $\mathbb{R}^n$, $F$ está totalmente determinado por los escalares $$
f_{i,j} = F(b_i,b_j) \text{, $1 \leq i,j \leq n$.}
$$
Es igual de sencillo para ver que todo esta elección de escalares define un producto interior, porque siempre podemos poner $$
F(x,y) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f_{i,j} x_i y_j \quad\text{donde } x = \sum_{i=1}^n x_i b_i,\, y = \sum_{j=1}^n y_j b_j \text{.}
$$
(es decir, $(x_i)$ $(y_i)$ es el coordinatization de $x$ $y$ en base a la $(b_i)$) Esto también muestra que el interior de los productos corresponden a $n\times n$ matrices, ya que si interpretamos el $f_{i,j}$ como los coeficientes en una matriz, obtenemos $$
F(x,y) = x^T Ay \text{.}
$$
Por lo tanto, el interior de los productos en $\mathbb{R}^n$ forma un espacio vectorial isomorfo a $\mathbb{R}^{n^2}$. Si usted coloca restricciones adicionales en el interior de los productos, tales como simetría (es decir, $F(x,y) = F(y,x)$), positivo certeza (es decir, $F(x,x) > 0$ si $x \neq 0$), el espacio resultante es un subconjunto de a $\mathbb{R}^{n^2}$. Para algunas restricciones (como la simetría), se obtiene un subespacio, mientras que otros (como positivo definitness) dan lugar a formas más complejas de subconjuntos. Cual es la razón por la que su maestro le dijo que usted consigue algunos colector.
Hay varias maneras de definir una topología en el espacio vectorial de interior de los productos. Ya que es isomorfo a $\mathbb{R}^{n^2}$, una de ellas es simplemente el uso de la costumbre norma euclídea. Otro caso es el de definir un tipo de operador de la norma, es decir, $$
\|F\|_{\textrm{op}} = \limsup_{x,y \in \mathbb{R}^n} \frac{|F(x,y)|}{\|x\|\cdot \|s\|} \text{.}
$$
Mediante la representación de $F$ $f_{i,j}$ para alguna base $(b_i)$ $\mathbb{R}^n$ desde arriba, se puede mostrar que un equivalente (aunque no necesariamente idénticos, creo) de la norma puede ser definida como $$
\|F\|_\infty = \max_{1 \leq i,j \leq n} \left|f_{i,j}\right|
$$
El subespacio $S_n$ simétrica interior de los productos en $\mathbb{R}^n$
Si fijamos una base $(b_i)$$\mathbb{R}^n$, la simetría de un producto interior $F$ significa que, para la correspondiente matriz $A$ que $x^T Ay = y^T A x$. Con ese $(uv)^T = v^Tu^T$ arbitrarias $k\times l$ matrices $u$ y arbitraria $l\times m$ matrices $v$, obtenemos $$
y^T T T T T \desbordado!= x^T T T T T = \left(x^T T T T T\right)^T = (Ay)^T x = y^T^T y \Rightarrow a = a^T
$$
es decir, que $A$ debe ser una matriz simétrica (qué bueno que los dos significados de simétrica para matrices de interior y productos de coincidir! No hay riesgo de confusión que hay!). Es fácil ver que el conjunto de $S_n$ simétrica $n \times n$ matrices forman un subespacio de $\mathbb{R}^{n^2}$ $$
\dim S_n = n + \frac{n^2 - n}{2} = \frac{n(n+1)}{2} \text{.}
$$ Just observe that a symmetric matrix is fully determined by the coefficient $f_{i,j}$ with $i \leq j$, and that any such choice of coefficients can be extended to a symmetric matrix by setting $f_{i,j} = f_{j,i}$ for $i > j$.
El conjunto $S_n^+$ simétrica positiva definida interior de los productos en $\mathbb{R}^n$
Ahora nos restringir aún más el $S_n$ para el conjunto de positiva definida y matrices simétricas $S_n^+$, es decir $$
S_n^+ = \{A \en S_n \,:\, x^TA x > 0 \text{ para todos los $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$}\} \text{.}
$$
Si $A,B \in S_n^+$, $C = A+B$ $x \neq 0$ tenemos $$
x^T C x = x^T (a+B)x = x^T(Ax + Bx) = \underbrace{x^Impuestos}_{> 0} + \underbrace{x^TBx}_{> 0} > 0
$$
por lo $S_n^+$ es cerrado bajo sumas. Del mismo modo, si $A \in S_n^+$, $x \neq 0$ y $0 < \lambda \in \mathbb{R}$, $C = \lambda A$ tenemos $$
x^T C x = x^T (\lambda) x = \underbrace{\lambda}_{> 0}(\underbrace{x^Impuestos}_{> 0}) > 0 \text{.}
$$
Pero si $\lambda = 0$,$\lambda A = 0 \neq S_n^+$, y para $0 > \lambda \in \mathbb{R} $ tenemos $x^T\lambda A x < 0$ $x \neq 0$. $S_n^+$ es, por tanto, no es cerrado bajo la multiplicación escalar. Así que, por desgracia, $S_n^+$ es no un subespacio de $S_n$.
El conjunto $S_n^+$ como un colector
Entonces, ¿qué puede decir sobre $S_n^+$?. Vamos de nuevo recoger algunas $A \in S_n^+$, y deja $$
\mu_A := \inf_{\|x\| = 1} x^T a x \text{.}
$$
Desde el ámbito de la unidad de $\{x \in \mathbb{R}^n \,:\, \|x\|=1\}$ es un compacto subconjunto de $\mathbb{R}^n$, y desde el mapa de $x \mapsto x^T Ax$ es continua, $\mu_A > 0$. (Porque si no, escoja una secuencia convergente $x_n \to x$$\|x_n\|=1$$x_n^TAx_n < \frac{1}{n}$, y el uso de la continuidad para demostrar que $x^TAx = 0$. El diseño compacto de la unidad de la esfera juega un papel crucial aquí!).
Ahora damos algunos arbitraria simétrica matriz $B \in S_n$, y ver el $C = A + \lambda B$. Como una suma de matrices simétricas, $C$ es, obviamente, simétrica. Deje $0 \neq x \in \mathbb{R}^n$ ser un vector arbitrario, vamos a $l = \|x\| > 0$, y deje $x_1 = \frac{x}{l}$. En otras palabras, $x_1$ es el único vector de la unidad de esfera con $x = l x_1 $. Entonces $$
x^T C x = l^2\left(x_1^T(A + \lambda B)x_1\right) = l^2\big(\underbrace{x_1^TAx_1}_{\geq \mu_A} + \lambda \underbrace{x^TBx}_{\[- M_B,M_B]}\big) \geq l^2\left(\mu_A - \lambda M_B\right)
> 0 \text{ si $\lambda < \frac{\mu_A}{M_B}$}
$$
donde $$
M_B = \sup_{\|x\|=1} |x^TBx|. \quad \text{($M_B < \infty$, de nuevo debido a que $x \mapsto x^TBx$ es continuo)}
$$
Esto es muy interesante! Esto significa que tenemos que partimos de algún elemento en $S_n^+$, podemos añadir versiones a escala arbitraria de matrices simétricas $B$ y el resultado es positiva definida, siempre y cuando se mantenga el factor de escala lo suficientemente pequeño. Podemos reforzar esta resultado un poco más. Desde $S_n$ es finito-dimensional, podemos elegir alguna base $(B_i)$$S_n$, y $$
M = \max_{1 \leq i \leq \dim S_n} M_{B_i} \quad\text{es decir,}\quad M \leq M_{B_i} \text{ para toda la base de matrices de $B_i$.}
$$
Es el caso de $A \in S_n^+$, todas las matrices $$
A + \sum_{i=1}^{\dim S_n} \mu_i B_i \quad\text{ donde } \sum_{i=1}^{\dim S_n} |\mu_i| < \frac{\mu_A}{M}
$$
son positivos definitivo!. Esto demuestra que localmente, $S_n^+$ tiene la misma dimensión como $S_n$, porque si nos limitamos a algunos de los pequeños de la vecindad de un particular y simétrica positiva definida $A$, que el barrio se "ve" como $S_n$.
El caso de $\mathbb{R}^2$
En el caso de $\mathbb{R}^2$, $\dim S_n = 3$. Para $S \in S_2^+$, debemos tener para todos los $x_1,x_2$ cuando un valor es distinto de cero que $$
(x_1,x_2) Un (x_1,x_2)^T = a_{11} x_1^2 + a_{22} x_2^2 + 2a_{12} x_1x_2 > 0 \text{.}
$$
Los casos de $(x_1,x_2) = (1,0)$ $(x_1,x_2) = (0,1)$ muestran que este requiere $a_{11} > 0$, $a_{22} > 0$. La reescritura como $$
a_{11} x_1^2 + a_{22} x_2^2 + 2a_{12} x_1x_2 = \left(\sqrt{a_{11}}x_1 + \sqrt{a_{22}}x_2\right)^2 - 2\sqrt{a_{11}a_{22}}x_1x_2 + 2a_{12}x_1x_2
$$
rendimientos $a_{12}$ la condición $$
|a_{12}| < \sqrt{a_{11}a_{12}} \text{.}
$$
Podemos cambiar la base de $S_3$ de manera tal que la nueva coordinar $x,y,z$ obedecer $x + y = a_{11}$, $x - y = a_{22}$ y $z = a_{12}$, luego se transformó condiciones en $x,y,z$ $$\begin{eqnarray}
x &>& 0 \\
|y| &<& x \\
|z| &<& \sqrt{x^2 - y^2} \text{.}
\end {eqnarray}$$
El conjunto $S_3^+$ es, pues, un cono que es rotacionalmente simétrica alrededor de la ray $x > 0, y=z=0$, que en las coordenadas originales $a_{11},a_{12},a_{12}$ significa que el rayo $a_{11} = a_{22} = c$.
