En una pregunta anterior me llegó a la familia de funciones (dependiendo de un parámetro real b para la base de exponenciación/logaritmo): $$ f(x) = x - \log_b(x) \qquad \qquad b \gt 0$$ con la cuestión de si, y si: a qué iteraciones convergen si se empieza de a, digamos, $x_0=3$.
Vamos a por conveniencia $\beta$ denotar $\beta = \log(b)$ .
Me parece empíricamente, que para $\beta \ge 1$ $$ \lim_{h \to \infty} f^{\circ h}(x_0) = 1 $$ donde la convergencia es monotonuously desde arriba. Para algunos $\eta_1 \approx 0.498 \lt \beta \lt 1$ el límite todavía es $1$ pero converge desde arriba y por debajo de $1$
Para una gama de pequeñas bases de $b=\exp(\beta)$ $\eta_2 \approx 0.3999 \lt \beta \lt 0.498 \approx \eta_1 $ tenemos convergencias para conjuntos de acumulación de puntos, con lo que establezca la lengthes $12,24,48,96, ??? $, lo que posiblemente podría extender a múltiplos de $12$ (o incluso de $3$) con poderes arbitrarios de $2$ .
Finalmente, para $ \beta \lt \eta_2$ parece, que no hay más convergencia, y la secuencia de iteración produce números que se ven bastante aleatorio.
P1: ¿Podemos aproximar los valores de la $\eta$'s más precisa? Hay descripciones analíticas para ellos?
P2: Son los posibles lengthes para la acumulación de puntos, de hecho,$12 \cdot 2^k$ ?
Ejemplos: Para $\beta = 0.41$ ,$b \approx 1.50681778511 $ llego después de 1000 inicial de iteraciones de la siguiente secuencia de más itera (leer a lo largo de las filas)
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0.264550328299, 3.50777903235, 0.446844683843, 2.41158665503,
0.264550328299, 3.50777903235, 0.446844683843, 2.41158665503,
0.264550328299, 3.50777903235, 0.446844683843, 2.41158665503,
0.264550328299, 3.50777903235, 0.446844683843, 2.41158665503,
0.264550328299, 3.50777903235, 0.446844683843, 2.41158665503,
0.264550328299, 3.50777903235, 0.446844683843, 2.41158665503,
0.264550328299, 3.50777903235, 0.446844683843, 2.41158665503,
0.264550328299, 3.50777903235, 0.446844683843, 2.41158665503,
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Los cuatro valores diferentes son lo que yo llamo "la acumulación de puntos" y el conjunto-duración de esta base es sólo 4 .
[actualización] Aunque la pregunta Q2 ha sido resuelto manipula/ - aquí está la tabla a la que me he referido cuando yo estaba hablando acerca de los conjuntos de la acumulación de puntos. Sin embargo no me había dado cuenta, que las cardinalidades de los conjuntos de la acumulación de puntos según el valor inicial $x_0$ además de que el parámetro para la exponencial de base $b \lt \sqrt e $ y pueden ser creados de forma arbitraria. Valor inicial para esta tabla fue en todos los casos $x_0=3$: $$ \begin{array}{l|l} \log(b) & \text{"set-length" or } \\ & \small \text{"No. of accumulation-points"} \\ \hline\\ 0.4 & 12 \\ 0.3999 & 24 \\ 0.39988 & 24 \\ 0.39987 & 24 \\ 0.399865 & 48 \\ 0.39986 & 48 \\ 0.399858 & 96 \\ 0.399857 & 96\\ 0.39985 & \small \text{-no sufficient convergence } \\ & \small \text{ achieved in 100000 iterations-}\\ \end{array}$$
