¿Existe una forma intuitiva de entender por qué una frecuencia no puede escribirse como una suma de otras frecuencias?

Question

Digamos que tenemos una secuencia de funciones de $(f_n)$ y para $n$, $f_n$ es un coseno en frecuencia $k$, es decir, $f_n(t)=\cos(2\pi kt)$ algunos $k$ que depende de la $n$.

Deje $n_1,\dots n_k$ ser números naturales, ¿por qué no $f_{n_1}$ ser expresada como una suma de $f_{n_2},\dots,f_{n_k}$?

Sé que el "oficial" de la prueba que implica un bien elegido el producto escalar, pero hay una manera más intuitiva, que hasta un estudiante de secundaria quien sabe funciones circulares podía entender?

Edit: lo Siento, me refería a una combinación lineal y no una simple suma.

Answer 1

Podría usar$2\cos(2\pi k t)=\exp(2\pi i kt)+\exp(-2\pi i kt) = z^k+z^{-k}$ con$z=\exp(2\pi i t)$ para reducir el problema a la independencia lineal de los polinomios. ¿La pregunta por qué$z^{n_1}+z^{-n_1}$ no se puede expresar como una suma de$z^{n_2}+z^{-n_2}, \ldots,z^{n_k}+z^{-n_k}$ más fácil de resolver? No necesariamente, pero al menos su solución no implica un producto escalar bien elegido.