¿Es una prueba de rigor?

Question

Demostración simple de álgebra abstracta:

Supongamos que $a,b,c\in\mathbb{Z}$ con $a$ y $b$ relativamente primo. Si $a|bc$ entonces $a|c$ .

Prueba 1

Desde $a$ & $b$ relativamente primo, $a|bc\Rightarrow a|c$ desde $a\nmid b$ . $\square$

Creo que esto es demasiado corto. ¿Tal vez el siguiente sería mejor?

Prueba 2

Desde $a$ & $b$ relativamente primo, tenemos $ax+by=1$ para algunos $x,y\in\mathbb{Z}$ . Multiplicando por $c$ da $acx+bcy=c$ Así que si $a|bc$ entonces $a$ divide los dos términos de $acx+bcy$ Así que $a|c$ . $\square$

¿Qué te parece?

Answer 1

La prueba 1 es errónea.

La observación "ya que $a\nmid b$ es incorrecto.

Razonamiento como: ... $4\mid2\times6$ así que $4\mid6$ desde $4\nmid2$ ... es incorrecto.

También hay que tener en cuenta que a partir del hecho de que $a$ y $b$ siendo relativamente primo no se puede concluir que $a\nmid b$ . Por ejemplo $1$ y $2$ son relativamente primos y además tenemos $1\mid2$ .

La prueba 2 es excelente.

Answer 2

La prueba 1 no emplea completamente el hecho de que a y b son relativamente primos, sólo que $a \nmid b$ . Para un contraejemplo $a = 9; b = 3; c = 6$ Aquí $a \nmid b$ y $a \mid bc$ pero $a \nmid c$ .

La prueba 2 es buena.