Prueba de números de Stirling

Question

Probar lo siguiente:

$$\sum\limits_{k=1}^{∞} (−1)^k (k − 1)! S(n,k) = 0$$

Donde $S(n,k)$ es los números de Stirling de segunda especie.

(Sugerencia: relación de recurrencia)

Funcionamiento:

La relación de repetición de números de Stirling de segunda especie creo que es:

$S(n+1,k) = k S(n,k) + S(n,k-1)$

Aunque no veo cómo esto potencialmente le ayudará hacia fuera.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Si utiliza la pista y que

$$ b_k = k! \,S(n-1,k)+(k-1)!S(n-1,k-1) = ak+a{k-1} $$

entonces la serie se convierte en

$$ \sum\limits_{k=1}^{∞} (−1)^k bk = \sum\limits{k=1}^{∞} (−1)^k (ak+a{k-1}) $$

y te darás cuenta que cuando usted ampliar los términos de la serie cancelaran mutuamente.

Answer 2

Puesto que la repetición da: $$ x^n = \sum_{k=1}^{n} S(n,k)(x)k = \sum{k=1}^{n} S(n,k)x(x-1)\cdot\ldots\cdot(x-(k-1)) $ $ (véase también línea $(11)$ aquí) tenemos que: %#% $ de #% y la demanda sigue simplemente de evaluar la identidad anterior en $$x^{n-1}= \sum_{k=1}^{n} S(n,k)(x-1)\cdot\ldots\cdot(x-(k-1))\tag{1}$.

Answer 3

Viendo que la OGF de los números de Stirling del segundo tipo ya ha sido utilizado me gustaría señalar que esto puede ser hecho usando el EGF así. Recordar las especies de las particiones del conjunto de lo que es $$\mathfrak{P}(\mathfrak{P}_{\ge 1}(\mathcal{Z}))$$ que da la bivariante de generación de función $$G(z,u) = \exp(u(\exp(z)-1)).$$ De ello se deduce inmediatamente que $${n\brace k} = n![z^n] \frac{(\exp(z)-1)^k}{k!}.$$

Supongamos que buscamos para evaluar $$\sum_{k=1}^n (-1)^k\times (k-1)! \times {n\brace k}.$$

Sustituir el EGF valor de la suma para obtener $$n! [z^n] \sum_{k=1}^n (-1)^k \times (k-1)! \times \frac{(\exp(z)-1)^k}{k!}$$ que es $$n! [z^n] \sum_{k=1}^n (-1)^k \times \frac{(\exp(z)-1)^k}{k}.$$ Ahora observe que el $(\exp(z)-1)^k$ comienza en el poder $z^k$, por lo que podemos extender la suma de los infinitos términos, sin afectar el recuento de llegar $$n! [z^n] \sum_{k\ge 1} (-1)^k \times \frac{(\exp(z)-1)^k}{k} = n! [z^n] \log\frac{1}{1+(\exp(z)-1)} \\ = n! [z^n] \log \exp(-z) = n! [z^n] (a-z).$$ Esto es $-1$ al $n=1$ y cero en caso contrario.