Completa + limitada homeomórfica a incompleta + ilimitada

Question

Soy consciente de que la integridad y la (total) acotamiento no se conservan bajo homeomorphism, con $(0,1) \cong \mathbb R$ ser un contraejemplo a ambos a la vez. Tengo la curiosidad de si existe una "doble contraejemplo" de otra manera:

Hay homeomórficos métrica espacios de $M$ e $N$ tales que $M$ es tanto completa y acotado, pero $N$ es ni completa ni delimitado?

Por supuesto, en ese caso, $M$ podría no ser totalmente acotado, otra cosa sería compacto, que sin duda es una propiedad topológica!

Answer 1

Puede permitir que $M$ sea $\mathbb R$ con la métrica $d(x,y)=\min(1,|x-y|)$ y $N$ sea $(0,\infty)$ con la métrica habitual.

Answer 2

Sí. Deje que $M$ sea $\mathbb N$ con la métrica discreta, y deje que $N= \{1/n:n\in \mathbb N\}\cup \{2,3,4,\dots\}$ con la métrica habitual $\mathbb R$ .