Si$a$,$b$ son las raíces de$x^2-2x+3$. Entonces la ecuación cuyas raíces son$a^3-3a^2+5a-2$ y$b^3-b^2+b+5$ es:

Question

Si $a$, $b$ son las raíces de $x^2-2x+3$.Entonces la ecuación cuyas raíces son $a^3-3a^2+5a-2$ e $b^3-b^2+b+5$ es:

No he sido capaz de encontrar un mejor método de calcular $a$ e $b$ a continuación, sustituir en las raíces para la nueva polinomio.

Creo que esta pregunta no puede ser transformado en una manera similar como se ha mencionado en esta cuestión como de las nuevas raíces son asimétricos.

Hace un método mejor que el mediocre de sustitución, existen?

La respuesta es:

$x^2-3x+2$

Answer 1

Insinuación:

Como $a,b$ son las raíces de $x^2-2x+3=0$

$a^3-3a^2+5a-3=(a^2-2a+3)(a-1)+1=1$

Similarmente para $b$

Answer 2

Como $x^2=2x-3$ , obtenemos ese $x^3=2x^2-3x=x-6$ . Luego, $$ \begin{align} a^3-3a^2+5a-2 &=(a-6)-3(2a-3)+5a-2\\ &=1 \end {align} $$ y $$ \begin{align} b^3-b^2+b+5 &=(b-6)-(2b-3)+b+5\\ &=2 \end {align} $$ Es fácil encontrar una ecuación que tenga raíces de $1$ y $2$ .

Answer 3

Sugerencia $\ x^3-3x^2+5x-2\,\bmod\, \color{#c00}{x^2-2x+3}\, =\, \color{#0a0}1\ $ (e $= \color{#90f}2$ para los otros). Por lo tanto, buscamos un polinomio con raíces $\color{#0a0}1$ e $\color{#90f}2,\,$ por ejemplo $\ (x-\color{#0a0}1)(x-\color{#90f}2)$

Comentario $ $ El resto es rápidamente computable por la división larga (ignorando los innecesarios cociente)

$$\begin{align} &\ \ \ 1\ {-}3\ \ \ \, 5\,\ {-}2\\ &\color{#c00}{{-}1\,\ \ \ 2\ {-}3}\\ & \ \ \ \ \ \ {-}1\ \ \ \ 2\ \ {-}2\\ &\color{#c00}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ {-}2\ \ \ \ \ 3}\\ &\qquad\qquad\quad\ \ \color{#0a0}1 \end{align}\qquad\qquad\quad$$