En una afirmación interesante en la página de OeisWiki en perfecto multiplicar números

Question

La siguiente (muy interesante) afirmación aparece en el OeisWiki página de multiplicar-perfecto números:

---------- Forwarded message ----------
From: Georgi Guninski <guninski@guninski.com>
To: Sequence Fanatics Discussion list <seqfan@list.seqfan.eu>
Cc: 
Date: Mon, 16 Jul 2012 13:14:33 +0300
Subject: [seqfan] Re: Reference that "A027687 4-perfect numbers" is finite
Thank you.

Asked because an odd perfect number and infinitely mersenne primes implies
4-perfect numbers are infinite (and a lot of other 2k-perfect numbers) -
take the product of the OPN and coprime to it EPN.

On the other hand 4-perfect being finite and infinitely mersenne primes
implies no OPN.

What is the reason to believe all 4-perfect are discovered (even if they
are finite)?

(Este post está tomada de la siguiente SeqFan hilo.)

Honestamente, yo no puedo envolver mi cabeza alrededor de la primera afirmación (y por lo tanto, también la segunda).

¿Por qué es que la existencia de un número perfecto impar y una infinidad de números primos de Mersenne implica que hay una infinidad de $4$-perfecto números (y un montón de otros $2k$-perfecto números)?

Se dice "tomar el producto de la OPN y coprime a EPN".

Sin embargo, una de OPN y EPN no siempre puede ser coprime, como Mersenne prime (por ejemplo, $3$) pueden dividir de OPN. (Ver este MSE pregunta.)

Nota: OPN = Impar Número Perfecto, EPN = Número Perfecto

Answer 1

Supongamos, un número perfecto impar $k$ existe y una cantidad infinita de números primos de Mersenne existen.

Deje $m$ ser un entero positivo tal que $2^{m+1}-1$ es un Mersenne prime mayor que $k$. Con nuestra hipótesis, una cantidad infinita de tales $m$ existen.

Ahora, considere la posibilidad de $$N=2^m\cdot (2^{m+1}-1)\cdot k$$

Tenemos $$\sigma(N)=(2^{m+1}-1)\cdot 2^{m+1}\cdot \sigma(k)=(2^{m+1}-1)\cdot 2^{m+2}\cdot k=4N$$ implying that infinite many $4$-perfecto números que existen.