Límite de $S_n$ $n \to \infty$

Question

Vamos $$S_n = \int_{0}^{1} \frac{nx^{n-1}}{1+x}dx$$ for $n >0$. Then as $n \to \infty$ , the sequence $(S_n)_{n>0}$ tiende a

1. $0$

2. $1/2$

3. $1$

4. $+\infty$

$$S_n = \int_{0}^{1} \frac{nx^{n-1}}{1+x}dx$$ poner $x= \tan^{2}t$

$dx = 2 \tan t \sec^{2} t dt$

así, $$S_n = \int_{0}^{\pi/4} \frac{n \tan^{2n-2}t}{1+\tan^{2} t} 2 \tan t \sec^{2}t dt$$ $\int_{0}^{\pi/4} 2n \tan^{2n-1}t dt$

$2n\int_{0}^{\pi/4} \tan^{2n-1}t dt$

No sé cómo proceder para encontrar el límite. ¿Hay algún otro método para encontrar el límite?

Answer 1

Integrando por partes obtenemos <span class="math-container">$S_n=x^{n} \frac 1 {1+x} |_0^{1}+\int_0^{1} x^{n} \frac 1 {(1+x)^{2}}$</span>. Segundo término tiende a <span class="math-container">$0$</span> entonces la respuesta es <span class="math-container">$\frac 1 2$</span>. Segundo término es <span class="math-container">$\leq \int_0^{1}x^{n}dx =\frac 1 {n+1}$</span>.

Answer 2

Una tercera respuesta, sólo para ver más técnicas.

A partir de la modificación de las variables de $u=x^n$ (de modo que $du = n x^{n-1}dx$), tenemos $$ S_n = \int_0^1 \frac{du}{1+u^{1/n}} $$ y luego, por su favorito teorema de convergencia para integrales (en mi caso, el Teorema de Convergencia Dominada), tenemos $$ \lim_{n\to\infty} S_n = \int_0^1 du\,\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+u^{1/n}} = \int_0^1 du\cdot \frac{1}{2} = \boxed{\frac{1}{2}} $$

Answer 3

Puesto que usted ya ha recibido una buena respuesta de Kavi Rama Murthy, añado un par piensa por su curiosidad.

La antiderivada $$I_n = \int\frac{n\,x^{n-1}}{1+x}\,dx$$ puede calcularse mediante funciones especiales que usted va a aprender más pronto o más tarde. A partir de ella, la integral $$S_n = \int_{0}^{1} \frac{n\,x^{n-1}}{1+x}\,dx=\frac{1}{2} n \left(\psi \left(\frac{n+1}{2}\right)-\psi\left(\frac{n}{2}\right)\right)$$ donde aparece la función digamma (que es "similar" a la armónica de los números). El uso de sus asymptotics, tenemos $$S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4 n}-\frac{1}{8 n^3}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)$$ que muestra el límite y cómo abordarla así como una aproximación.

Por ejemplo, el uso de $n=10$, el resultado exacto sería $\approx 0.524877$ , mientras que el aboce fórmula da $\frac{4199}{8000}\approx 0.524875$.

Answer 4

En contexto:

<span class="math-container">$In=\displaystyle{\int{0}^{1}}\dfrac{nx^{n-1}}{1+x}$</span>.

<span class="math-container">$\displaystyle{\int_{0}^{1}}\dfrac{nx^{n-1}}{1+1}dx \lt I_n\lt$</span>

<span class="math-container">$\displaystyle{\int{0}^{1/2}}\dfrac{nx^{n-1}}{1}dx + \displaystyle {\int{1/2}^{1}}\dfrac{nx^{n-1}}{1+1/2}dx.$</span>

<span class="math-container">$1/2</span>

<span class="math-container">$(1/2)^n +(2/3)[1-(1/2)^n]=(1/3)(1/2)^n+2/3.$</span>

Tomando el límite <span class="math-container">$n \rightarrow \infty:$</span>

<span class="math-container">$1/2 \le \lim_{n \rightarrow \infty}I_n \le 2/3.$</span>

Suponiendo que una de las respuestas es correcta, es respuesta 2).