Cada Grupo topológico de Lindelöf es isomorfo a un subgrupo de lo producto de grupos topológicos contables segundo.

Question

Quiero mostrar que cada Lindelöf topológico grupo es isomorfo a un subgrupo del producto de la segunda contables de grupos topológicos. He recibido una respuesta con el hecho de que Lindelöf topológicos, grupos $\omega$-estrecho, pero quiero mostrar mediante el siguiente teorema.

Teorema: Todos los topológico de Hausdorff grupo $G$ es topológicamente isomorfo a un subgrupo del grupo de isometrías $Is(M)$ de algunos de espacio métrico $M$ donde $Is(M)$ es tomado con la topología de pointwise convergencia.

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Una buena referencia para este tipo de cosas es el libro Topológicos, Grupos y Estructuras Relacionadas por Arhangel'skii y Tkachenko.

Un topológico de Hausdorff grupo $G$ se dice $\omega$-estrecho si para cada abierto vecindario $U$ de la identidad de $e$, hay una contables set $A$ tal que $AU=G$.

Ciertamente, cada Lindelöf topológico grupo es $\omega$-estrecho; tome $A\subset G$ a ser una contables conjunto tal que $\{aU\}_{a\in A}$ es una cubierta abierta de a $G$.

Guran del Teorema (3.4.23 en el libro mencionado) afirma que un grupo topológico es $\omega$-estrecho iff se incrusta como una topológico subgrupo de un producto de segunda contables de grupos topológicos.

Este resultado es más general que el que usted está solicitando y la prueba se puede encontrar en el libro. Por otro lado, la prueba de que aquí no parecen utilizar Uspenskij del teorema de ($G$puede ser integrado en el grupo de isometría de algunos de espacio métrico $M$, en particular el espacio métrico de todos los delimitada izquierda uniformemente continua real de las funciones con valores en $G$).

Tal vez por Lindelöf $G$, no es una simple prueba de uso de Uspenskij del teorema y de alguien más, puede señalar el camino para esto. Tengo curiosidad por saber donde se dice que una prueba es posible?

Answer 2

Deje $G$ ser un Lindelöf grupo. Por su teorema, se puede suponer que la $G$ es un subgrupo de $\operatorname{Iso}(M)$ para algunos de espacio métrico $M$. Ahora, considere la descomposición de la $M$ a $G$de las órbitas, llamarlos $M_a$. Ya que cada órbita es una imagen de $G$, cada una de las $M_a$ es Lindelöf. Además, desde cada una de las $M_a$ es metrizable, cada uno de ellos tiene una contables de la base.

Ahora, por cada $M_a$, ya que el $G$ actúa en $M_a$, existe un natural homomorphism de topológicos, grupos de$G$$\operatorname{Iso}(M)$. Entonces, la diagonal producto de estos homomorphisms le da la incorporación de la $G$ en el producto de segunda contables de los grupos.