¿Cómo demostrar la existencia y unicidad de la solución de una EDO lineal de segundo orden?

Question

Considerando una ecuación diferencial homogénea, lineal y de segundo orden $$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x), a<x<b$$ $p, q, r$ se dan. Ya sabemos $y(a) = A, y(b) = B$ y $q(x) < o$ . Cómo demostrar que esta ecuación tiene solución única en $[a,b]$ si tiene solución?

Answer 1

Supongamos que $y_1(x)$ y $y_2(x)$ ambos satisfacen

$y'' + p(x) y' + q(x)y = r(x) \tag 1$

con

$y_1(a) = y_2(a) = A, \; y_1(b) = y_2(b) = B; \tag 2$

entonces tenemos

$y_1'' + p(x) y_1' + q(x)y_1 = r(x) \tag 3$

y

$y_2'' + p(x) y_2' + q(x)y_2 = r(x), \tag 4$

y, restando,

$(y_1 - y_2)'' + p(x) (y_1 - y_2)' + q(x)(y_1 - y_2) = 0, \tag 5$

y

$(y_1 - y_2)(a) = y_1(a) - y_2(a) = 0 = y_1(b) - y_2(b) = (y_1 - y_2)(b); \tag 6$

ajuste

$z(x) = y_1(x) - y_2(x), \tag 7$

tenemos

$z'' + p(x) z' + q(x) z = 0, \; z(a) = z(b) = 0; \tag 8$

ahora si $z'(a) = 0$ entonces por la unicidad de las soluciones debemos tener $z(x) = 0$ , $x \in [a, b]$ ya que $z(a) = 0$ y por lo tanto $y_1(x) = y_2(x)$ y hemos terminado; así que asumimos $z'(a) \ne 0$ De hecho, como (8) es lineal, podemos tomar $z'(a) > 0$ y, por tanto, por la continuidad de $z'(x)$ Hay un poco de $\delta > 0$ tal que

$z'(x) > 0, \; x \in [a, a + \delta); \tag 9$

entonces tenemos

$z(x) = z(x) - z(a) = \displaystyle \int_0^x z'(s) \; ds > 0, x \in (a, a + \delta); \tag{10}$

desde $z(x) > 0$ en algún lugar en $[a, b]$ debe tener un máximo absoluto positivo $x_M \in (a, b)$ en tal punto

$z'(x_M) = 0, \tag{11}$

y por tanto por (8),

$z''(x_M) = -q(x_M)z(x_M) > 0 \tag{12}$

en virtud de los hechos que $z(x_M) > 0$ , $q(x_M) < 0$ pero (12) es imposible con un máximo de $z(x)$ donde debemos tener $z''(x_M) \le 0$ Esta contradicción obliga a $z'(a) = 0$ y por lo tanto también

$z(x) = 0, \; x \in [a, b], \tag{13}$

y por lo tanto

$y_1(x) - y_2(x) = z(x) = 0, \; x \in [a, b]; \tag{14}$

concluimos que la ecuación (1) con las condiciones de contorno (2) tiene como mucho una solución en $[a, b]$ .