La siguiente relación de recurrencia ocurrió en una investigación, yo estaba trabajando en:
$$x_n=\left(\frac{x_{n-1}}{n}\right)^2-a$$
O, equivalentemente, el mapa:
$$z\mapsto\frac{z^2}{n^2}-a$$
Donde $n$ es el número de la iteración. Específicamente, estoy interesado en el tamaño de la convergencia de la región a través de la línea real. Algunas de las cosas que yo sé acerca de este mapa:
- Para $a = 1$, es fácil, el tamaño de la línea real" es $[-3,3]$.
Tengo un infinito radical de expansión para el tamaño de la convergencia de la región en la recta real (véase la Resolución de la infinita radicales $\sqrt{6+\sqrt{6+2\sqrt{6+3\sqrt{6+...}}}}$):
$$\sqrt{a+2\sqrt{a+3\sqrt{a+...}}}$$
Por eso es fácil para $a=1$ - es sólo el Ramanujan radical, y es igual a 3. También es fácil para $a=0$ -- $\exp\left(-\mathrm{PolyLog}^{(1,0)}(0,1/2)\right)$ según Wolfram Alpha.
Alguien ha visto este mapa antes? Aquí está la región de convergencia en el plano complejo, representado numéricamente (por $a=6$):
