Cohomología de grupos de producto con intercambio de factores (torsión)

Question

Deje $M$ ser $G$-módulo, donde $G = \Bbb Z / 2 \Bbb Z$. Definir un $G$-módulo de estructura en $A = M \oplus M$ por $g \cdot (a,b) = (g \cdot b, g \cdot a)$. ¿Qué es el grupo cohomology $H^*(G, A)$ es términos de $H^*(G,M)$ ?

Pensamientos:

Sé que $H^n(G, -)$ viajes con los productos, pero aquí la acción en $A$ no es la diagonal de acción, así que no estoy seguro de qué hacer aquí. Podemos al menos compute $H^1(G, A)$, siempre que $H^1(G, M)=0$ ?

Answer 1

Incluso para $n>0$, $H^n$ es el núcleo de $1-g$ factorizada por la imagen de $1+g$. El núcleo de $1-g$ es el conjunto de soluciones de $(a,b)=(g\cdot b,g\cdot a)$ que es equivalente a $b=g\cdot a$. Por lo tanto el elemento típico de la el kernel es $(a,g\cdot a)=(a,0)+g\cdot(a,0)$ acostado en la imagen de $1+g$. Por lo tanto, $H^n(G,M)=0$ incluso $n>0$.

Un cálculo similar da $H^n(G,M)=0$ por extraño $n$.

Answer 2

Lo que usted ha escrito es el $\Bbb Z/2$-módulo de $M \otimes \Bbb Z[\Bbb Z/2]$.

El $G$-módulo de $M \otimes \Bbb Z[G]$ es en realidad independiente de la elección de la acción en $M$, hasta isomorfismo: el mapa de $m \otimes [g] \mapsto g^-1m \otimes [g]$ da $G$-equivariant isomorfismo a $M \otimes \Bbb Z[G]$ con el trivial de acción en $M$. En particular, podemos muy bien suponer que la acción es trivial.

Si usted elige una resolución de $0\to A_1 \to A_2 \to M \to 0$ de $M$ libre abelian grupos, esto da una breve secuencia exacta $0 \to A_1[\Bbb Z/2] \to A_2[\Bbb Z/2] \to M[\Bbb Z/2] \to 0$, por lo que es asociada a una larga secuencia exacta en la cohomology.

Si puedo convencer de que los cohomology de $\Bbb Z^\infty[\Bbb Z/2]$ es cero en grados mayor que $0$, y que $H^0(\Bbb Z/2; A[\Bbb Z/2]) \cong A$ natural libre abelian grupos $A$, entonces el largo de la secuencia exacta nos dice que $H^*(\Bbb Z/2; M[\Bbb Z/2]) = 0$ en grados mayor que 0, y da $H^0 \cong M$.

Pero observe que $$H^*(\Bbb Z/2; \Bbb Z^\infty[\Bbb Z/2]) \cong H^*(\Bbb Z/2; \Bbb Z[\Bbb Z/2])^\infty$$ and this may easily be seen to be zero at the level of the definition (in degrees larger than 0). $H^0$ es sólo el punto fijo del espacio, lo que debería hacer las declaraciones acerca de claro.