Yo estoy tratando de encontrar el entero de las soluciones de las ecuaciones de la forma $$y^2 = 4x^3 - p \tag{1}$$ donde $p$ es un primer e $p \equiv 7 (\text{mod } 8)$.
1) ¿hay una forma sencilla de comprobar si no existen soluciones para un determinado $p$?
2) ¿hay un computacionalmente eficiente manera de encontrar al menos una solución? o tal vez para un subconjunto de a$p$ asumiendo algunas propiedades adicionales?
Finalmente, me gustaría resolver algunas de las grandes $p$ ( > 1000 bits). No sé si esto se puede hacer de manera eficiente, pero estoy empezando con el menor $p$ a intentar entender las propiedades de la ecuación de mejor.
De tamaño razonable de valores, puedo usar el magma para poner a prueba algunos de los valores de $p$. Hago esto al señalar que si existe un número entero solución a $Y^2 = X^3 - 16p$ con $X$ un múltiplo de 4, entonces me han resuelto la ecuación original. Esto me ha ayudado a ver que a veces no hay soluciones, pero no he averiguado si hay una forma sencilla de determinar cuando esto ocurre.
