Demostración de que las normas de Sobolev en variedades son equivalentes

Question

Permítanme definir primero un "espacio de Sobolev sobre un colector". Sea $M$ sea una $n$ -dimensional, $E \rightarrow M$ un haz vectorial complejo.

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Escojamos:

1. Una cubierta finita de $M$ por conjuntos $U_i$ .

2. gráficos $h_i:U_i \cong \Bbb R^n$ .

3. Trivilizaciones $\phi_i$ de $E|_{U_i}$

4. $\mu_i$ particion de unidad de subordinado a $\{U_i\}$ .

Definir la norma de Sobolev de una sección $u \in \Gamma(M,E)$ por $$ ||u||_k^2 := \sum_i ||(\mu_i \circ h_i^{-1}) (\phi_i \circ u \circ h_i^{-1} ) ||_k^2$$

está bien definida, siendo el lado derecho una suma finita de Sobolev $k$ -de funciones con soporte compacto en $\Bbb R^n$ .

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Así que quiero mostrar

La clase de equivalencia de $|| \cdot ||_k$ es independiente de las opciones elegidas.

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Lo que sé:

Resultado 1: Sea $a \in C^\infty_c$ . Entonces $f \mapsto af$ se extiende a un operador acotado $M_a:W^s \rightarrow W^s$ para cada $s \in \Bbb Z$ . $$||au||_s \le C(a)||u||_s$$

Resultado 2: Sea $\phi:U' \rightarrow V'$ sea un difeomorfismo de subconjuntos abiertos de $\Bbb R^n$ con $U \subseteq U'$ y $V= \phi(U) \subseteq V'$ ser relativamente compacta. Entonces $u \mapsto u\circ \phi$ se extiende a un mapa acotado para todo $s \in \Bbb Z$ . $$W^s (V) \rightarrow W^s(U) $$

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Pensamientos hasta ahora:

Edit: Creo que empezamos por demostrar 4.

Veamos primero variar la partición de la unidad, con $\tau:= \{ \tau_i \}$ . De modo que $$ \tau _j = \sum_i \tau_j \mu_i $$

\begin{align*} || (\tau_j \circ h_j^{-1}) (\phi_j \circ u \circ h_j^{-1}) ||_k^2 & \le \sum _i || (\tau_j \circ h_j^{-1}) (\mu_i \circ h_j^{-1}) (\phi_j \circ u \circ h_j^{-1}) ||_k^2 \\ & \le C(\tau) ||u||_{k}^2 \end{align*} constante $C(\tau)$ depende de la partición.

Esto utiliza Resultado 1 . Entonces, si tomamos otra cubierta $\{V_j\}$ . A partir de la independencia de 4, podemos elegir una partición wrt $U_i \cap V_j$ . Utilización de Resultado 2 Nosotros nos encargamos del 2.

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Ahora estoy atascado en la dirección 3.

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Este post debería ser más o menos autónomo, pero para aquellos que puedan encontrar útil en la consulta de la fuente original, estoy concered con Lemmea 3.6.2, pg 47.

Answer 1

La observación clave es recordar que las trivializaciones de haces vectoriales son fibra lineal, por lo que se puede demostrar un resultado análogo al resultado 2 para ciertos mapeos de la forma $A \circ u.$

Dada la configuración anterior, supongamos $\psi_j : E|_{U_i} \rightarrow U_i \times \mathbb R^s$ es otra opción de trivialización para cada $i.$ Luego la composición, $$ \varphi_i \circ \psi_i^{-1} : U_i \times \mathbb R^s \longrightarrow U_i \times \mathbb R^s $$ mapas $(x,v) \mapsto (x,A_i(x)v),$ donde $A_i : U_i \rightarrow \mathrm{GL}(s,\mathbb R).$ Reduciendo $U_i$ ligeramente si es necesario e identificando $\mathrm{GL}(s,\mathbb R) \subset \mathbb R^{s^2},$ podemos suponer que $A_i \circ h_i^{-1}, A_i^{-1} \circ h_i^{-1}$ están acotados en $C^k(\mathbb R^n, \mathbb R^{s^2}).$

Queremos demostrar que hay $C>0$ tal que, $$ \lVert (\mu_j \circ h_j^{-1})(\varphi_j \circ u \circ h_j^{-1})\rVert_k^2 \leq C \lVert (\mu_j \circ h_j^{-1})(\psi_j \circ u \circ h_j^{-1})\rVert_k^2. $$ Para esto escribimos, \begin{align*} \lVert (\mu_j \circ h_j^{-1})(\varphi_j \circ u \circ h_j^{-1})\rVert_k^2 &= \lVert (\mu_j \circ h_j^{-1})(\varphi_j \circ \psi_j^{-1} \circ \psi_j \circ u \circ h_j^{-1}) \rVert_k^2 \\ &= \lVert(\mu_j \circ h_j^{-1}) (\mathrm{id},A_j \circ h_j^{-1})(\psi_j \circ u \circ h_j^{-1}) \rVert_k^2 \\ &\leq C \left(1+\lVert A_j \circ h_j^{-1} \rVert_{C^k(\mathbb R^n,\mathbb R^{s^2})}\right) \lVert(\mu_j \circ h_j^{-1})(\psi_j \circ u \circ h_j^{-1}) \rVert_k^2 \end{align*} La última línea requiere comprobación; la idea es ampliar cada $\nabla^m\left( (\mathrm{id},A_j \circ h_j^{-1}) \psi \circ u \circ h_j^{-1}\right)$ y demostrar la estimación puntualmente. Intercambiando $\varphi_j$ y $\psi_j$ establece la equivalencia.

A partir de aquí ya has hecho la mayor parte del trabajo. El resto es sobre todo cuestión de notación y de ponerlo todo junto.

Answer 2

Si está familiarizado con los operadores pseudodiferenciales, puede consultar la Proposición 7.3 del libro de Shubin Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral .

Shubin define dos normas de Sobolev diferentes $\Vert \cdot \Vert_s$ y $\Vert \cdot \Vert_s'$ , donde la primera es la misma que la suya (depende de la elección de gráficos, marcos y particiones de la unidad) y la segunda depende de la elección de ciertos operadores pseudodiferenciales.

Luego demuestra para cada norma independientemente que es completa en el espacio de Sobolev $H^s$ y utiliza el teorema del mapa abierto para concluir que son equivalentes. En particular, la topología inducida es la misma en ambos casos y, por tanto, no depende de ninguna de las dos opciones.