Si$f(x+a)-f(x)$ es diferenciable para cada$a$, entonces$f$ es diferenciable

Question

$ f \in C(\mathbf{R})$ , si para cada real $a$ , $f(x+a)-f(x)$ es diferenciable, entonces $f$ es diferenciable.

Parece difícil convertir la diferencia a la función original.

Answer 1

Este y muchos otros resultados de este tipo se demuestran en el papel

Bruijn, de, N. G. (1951). Funciones cuyas diferencias pertenecen a una clase determinada. Nieuw Archief voor Wiskunde, serie 2, 23, 194-218.

La suposición de que $f(x)$ es continuo puede ser debilitado, por ejemplo, es suficiente para suponer que $f(x)$ está delimitada en un conjunto de medida positiva. Algunos condición en $f(x)$ es necesario ya que, si $f(x)$ es discontinua aditivo función, $x\mapsto f(x+a)-f(x)$ es la función constante $x\mapsto f(a)$.