Encontrar todos los números primos arriba de$x-a_i$ en el campo de función$y^2=(x-a_1)\cdots (x-a_n)$

Question

Este es un problema de Rosen de la "Teoría de los números en Función de los Campos". Deje $K=F(x,y)$ ser un campo de función, de tal manera que $y^2=(x-a_1)\cdots (x-a_n)$, y todos los elementos $a_i$ son distintos. En $F(x)$ tenemos un primer $P_i$ por cada $a_i$- su lugar es $O_{P_i}=F[x]_{<x-a_i>}$, y en esto es el (máximo) ideal generado por a$x-a_i$. El prbolem es demostrar que no es sólo un primer $\mathfrak{P}_i$ está por encima $P_i$ en $K$, y que el índice de ramificación de es $2$.

Ahora, yo sé que por la teoría general, podemos obtener el conjunto de números primos que yace por debajo de $P_i$ de la siguiente manera: tomamos $R$ a ser la integral de cierre de $O_{P_i}$ dentro $K$. Este es un dominio de Dedekind y, en particular, tiene la única factorización en números primos de los ideales. Escribimos $RP_i=p_1^{e_1}\cdots p_g^{e_g}$. A continuación, para cada $j$, la localización de la $R_{p_j}$ es un dvr, con la máxima ideal $p_j R_{p_j}$. Este es un lugar en el que yace por debajo de $P_i$, y todos los lugares son obtenidos de esta manera. Por otra parte, la ramificación índice es $e_j$.

El problema es, ¿cómo encontrar la integral de cierre en este caso? Claramente, $y$ es integral sobre la $O_{P_i}$, y además podemos dividir por cualquier polinomio en $x$ solamente, que no es divisible por $x-a_i$ en la integral de cierre. Pero, ¿cómo podemos encontrar todos los elementos que forman parte?

Answer 1

Esto no es muy diferente de encontrar algebraica de los números enteros en una ecuación cuadrática de la extensión de $\Bbb{Q}$. En general es un poco más exigente, pero cuadrática extensiones pueden ser manejados. El arsenal de herramientas geométricas podría resolver esto rápidamente, pero también podemos hacer de todo, desde primeros principios.

General básica de la teoría de campo de extensiones nos dice que $\{1,y\}$ es una base de $K$ sobre $F(x)$, por lo que un elemento arbitrario $z\in K$ puede ser escrita en la forma $$ z=f_0(x)+yf_1(x) $$ para algunos $f_0,f_1\in F(x)$. Si $f_1\neq0$ entonces $z\notin F(x)$. Tenemos $$ (z-f_0)^2=y^2f_1^2=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)f_1^2, $$ por lo que el polinomio mínimo $m(T)$ de $z$ sobre $f(x)$es $$ \begin{aligned} m(T)&=(T-f_0)^2-(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)f_1^2\\ &=T^2-2f_0T+[f_0^2-(x-a_1)\cdots (x-a_n)f_1^2]. \end{aligned} $$ El elemento $z$ es integral sobre la $O_{P_i}$ si y sólo si los coeficientes de este polinomio mínimo están en el ring $O_{P_i}$.

Suponga que la característica es $\neq2$. A continuación, el coeficiente del término lineal, $2f_0\in O_{P_i}$ fib $f_0\in O_{P_i}$. Con que se establecieron vemos que el término lineal es en $O_{P_i}$ si y sólo si el producto $(x-a_1)\cdots (x-a_n)f_1^2\in O_{P_i}$. Una de los momentos de reflexión revela que esta condición es equivalente a que requieren $f_1$ a en $O_{P_i}$. La razón es que si $f_1$ tiene un polo de orden $\ge1$ a $P_i$, a continuación, $f_1^2$ tiene un polo de orden $\ge2$. El otro factor $(x-a_1)\cdots(x-a_n)$ no se puede cancelar porque se lo ha $a_1$ como un simple cero.

Hemos demostrado que la integral de cierre de $O_{P_i}$ es el anillo $$R_i=O_{P_i}[y]=\{f_0+f_1y\mid f_0,f_1\in O_{P_i}\}.$$

El siguiente paso es demostrar que un elemento de $R_i$ es una unidad si y sólo si $f_0$ es una unidad de $O_{P_i}$. Esto se deduce de la $$ \frac1{f_0+y f_1}=\frac{f_0-yf_1}{f_0^2-(x-a_1)\cdots (x-a_n)f_1^2}. $$ Si $f_0$ es una unidad, por lo que es el denominador en el último formulario , llame a $Q$ (el otro término es un no-unidad). Más generalmente a los dos términos de $Q$ cero órdenes de paridades opuestas a $P_i$, al menos el doble del mínimo de cero órdenes de $f_0,f_1$. Esto implica que una eventual cero en $P_i$ no puede ser cancelado en tanto $f_0/Q$ e $-f_1/Q$. El reclamo de la siguiente manera.

Esto implica que el ideal de $yR_i$ consiste de exactamente la no-unidades de $R_i$. Aquí tenemos que $a_i$ es un cero simple del producto $(x-a_1)\cdots (x-a_n)$ lo que implica que $$x-a_i=\frac{y^2}{(x-a_1)\cdots(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\cdots (x-a_n)}\in y R_1.\qquad(*)$$ Así que sabemos que el anillo de $R_i$ es local, y $y$ es un generador del único ideal maximal $M_i$. Las reivindicaciones, a continuación, siga a partir de las definiciones. La ecuación de $(*)$ implica que $x-a_i\in M_i^2$ nos da la ramificación.