Si , Entonces

Question

Deje $A$ ser $n \times n$ real de la matriz tal que $$A + A^t = 2I,$$ where $I$ is the $n \times n$ matriz de identidad.

Demostrar que $\det(A) \geq 1$.

Es obvio que tr$(A) = n$. Además, también tenemos que $$A - 2I = -A^t,$$ so we get that $$\det(A-2I) = (-1)^n \cdot \det(A).$$

Ahora, nos vamos a $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \in \mathbb{C}$ ser los autovalores de a$A$, por lo que tenemos que $$(\lambda_1 - 2)(\lambda_2 - 2) \cdots (\lambda_n - 2) = (-1)^n\lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n,$$ but I couldn't derive anything about the product $\lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n = \det(A)$ (the only known thing is $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = n$).

También, he probado el mismo enfoque para $2 \times 2$ e $3 \times 3$ matrices, pero no lleva a nada (ya que los valores pueden ser números complejos).

Answer 1

Tenga en cuenta que $A - I$ es un verdadero sesgo de simetría de la matriz, por lo que todos sus autovalores son imaginarios puros (o cero) y aparecen en el complejo conjugado de pares. Por lo tanto, los autovalores de a$A$ son $1$ o de la forma $1 + c i, 1-c i$ para algunos $c\in\mathbb{R}$. Tenga en cuenta que $(1+ci)(1-ci) = 1+c^2 \geq 1$. Por lo tanto

$$\det(A) = \prod (1 + c^2) \geq 1$$

Answer 2

Deje $A = I+B.$ Uno puede notar inmediatamente que $B$ es sesgar-simétrica o $B = -B^T.$ Esto significa que los valores propios de a$A$ son, precisamente, $1+\lambda_j$, donde $\lambda_j$ son los autovalores de a$B.$ Ahora, es bien sabido que los autovalores de un sesgo de simetría de la matriz viene en pares $\pm i\lambda_j.$ Esto significa que: $$\det A = \prod(1+\lambda^2_j)\geq 1.$$ Se recomienda rellenar los detalles de la separación de los casos en donde la $n$ es par o impar.